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复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数

一， 复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二， 对高中复合函数的通解法——综合分析法
1、 解复合函数题的关键之一是写出复合过程
例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2VbYKu。
解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
　 （2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
　　　　　经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
　　　　　　　　　　　　　F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
　　　　　　　　　　　　由g(x),G(x)得：u2=2x-11
即：y=f(u2),u2=2x-11
∵f(u1)的定义域为[1、2]
　　　　　　　　　　　　∴１≤x﹤2
∴-9≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]
　　　　　　　　　　　　　∴f(2x5)的定义域为[-9、-6]
　　　　　　经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]
∴1≤x+3﹤2
∴-2≤x﹤-1
∴-4≤2x﹤-2
　　　　　 ∴-9≤2x-5﹤-7
∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（下转2页）
注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。VFIDd。
　　　　　　正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。
　　　　　　　　　　　　 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的
　　　　　　　　　　　　　∵１≤x1﹤2
∴4≤u1﹤5
∴4≤u2﹤5
∴4≤2x2-5﹤5
∴2≤x2﹤5
∴f(2x-5)的定义域为[２、5]
结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解１与２的情况。R7TqC。
三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）
题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。
题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[１、２],求f（2x-5）的定义域。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（下转3页）
题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。
题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求fx)的定义域。
注：通解法——综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。
第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）
下面用综合分析法解四个题型
题型一：单对单：例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。
第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。
（由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。iHrCz。
∵f(x)的定义域为[-1、4]
第2步：找出复合函数定义域的真正对应∴-1≤x1﹤4
即-1≤u﹤4
又∵u=x22
∴-1≤x22﹤4
(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出) ∴-2﹤x2﹤2
∴f(x2)的定义域为(-2,2)
结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。
题型三：单对多：例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。
第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。
f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.
第2步：找出复合函数定义域的真正对应：∵0≤x1≤1
∴0≤u≤1
∴0≤2x2-1≤1
∴x2≤1
∴f(2x-1)的定义域为[，1]
结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(x)]的定义域。
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题型四：多对单：如：例5：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。
第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。
f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。
第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：∵0≤x1≤1
∴0≤2x1≤2
∴-1≤2x1-1≤1
∴-1≤u≤1
∴-1≤x2≤1
∴f(x)的定义域为[-1、1]
结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。
小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这个桥梁将x1与x2联系起来解题。81A29。
题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。
解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知 f(x)的定义域可求出y=f[g(x)]的定义域”已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)与y=f[g(x)]可以互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定义域，故这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u所充当的作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：8nCE8。
第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。
f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。
第二步：求桥梁f(x)的定义域：∵1≤x≤2
∴4≤x+3≤5
∴4≤u≤5
设：函数y3=(u),u=x
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∴y3=f(x)的定义域为[4、5]
第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x复合而成的
∵4≤x≤5
∴4≤u≤5
∴4≤2x-5≤5
∴ ≤x2≤5
∴f(2x-5)的定义域为：[5]
小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。
四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。
如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1]，求函数y=f(x2+1)的定义域。
解：∵函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x)
∴0≤x2+1≤1
∴-1≤x2≤0
∴x=0
∴定义域为{0}
小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。
例8：已知y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。
解：由题意：0≤x≤1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象）。
∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)
视2x-1为一个整体（即u与u的交换）
则2x-1相关于f(x)中的x(即u与u的交换，f(x)由y=f(u),u=x复合而成，-1≤u≤1, ∴-1≤x≤1) ∴函数f(x)的定义域为[-1、1]RSjhW。
　总结：综合分析法分了３个步骤
① 写出复合函数的复合过程。
② 找出复合函数定义域所指的代数。
③ 找出解题中的桥梁（u或f(x)可为桥梁）

浅析复合函数的定义域问题
一、复合函数的构成
设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 4y9eX。
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。
⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。
⑶与表示不同的复合函数。
例1．设函数，求．
⑷若的定义域为，则复合函数中，．
注意：的值域．
例2：
⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；
⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；
⑶已知定义域是，求定义域．
要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．
解答：
⑴　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
函数的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．
∴，
∴，即，
∴函数的定义域[0，]．
⑵　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
的定义域是[-1，1]，
∴A=[-1,1]，即-1，
∴,即的值域是[-3，1]，
∴的定义域是[-3，1]．
要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。if8GR
⑶　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．
的定义域是[-4，5),
∴A=[-4,5)即，
∴即的值域B=[-1，8）
又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域
∴
∴
∴
∴的定义域是[1，）．
例3：已知函数定义域是（a,b），求的定义域．
解：由题，，，
　　当，即时，不表示函数；
当，即时，表示函数，
其定义域为．
说明：
①　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：
已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。FmkwF。
②　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：
若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数的外函数，如果外函数的定义域不等于内函数的值域，那么就确定不了的最值或值域。Hqdu9。
例4：已知函数,
求的值域。
分析：令，；
则有，
复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。
例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。
分析：因为定义域为{或}
令，；则，且
所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。
1．在等比数列中，已知，则n为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设是公差为－2的等差数列，若，则 等于 （ ）
A．82 B．－82 C．132 D．－132
3．已知数列中以后各项由公式给出，则（ ）
A． B．－ C． D．
4．已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C．8 D．－8

5．在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是 （ ）0FmWO。
A． B． C． D．9
6．等差数列的前项和为，若，则= （ ）
A．190 B．95 C．170 D．85
7．已知是等比数列，对恒成立，且，
则等于 （ ）
A．36 B． C．－6 D．6
8．已知等差数列中，，公差；是数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 （ ）FohqY。
A．2 B．4 C．8 D．16
10．已知数列满足：，定义使叫做希望数，则区间[1，2010]内所有希望数的和 （ ）suwrL。
A．2026 B．2036 C．2046 D．2048
11．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，，，则数列的前10项的和等于 （ ）CHqc5。
A．65 B．75 C．85 D．95
12．等差数列的前n项和为，已知，,则 ）
A．38 B．20 C．10 D．9 .

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．已知数列前4项为4,6,8,10，则其一个通项公式为 _ .
14．已知1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则______．KfULM。
15．已知数列的前n项的和满足,则= ．
16．甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，……,记n小时后细胞的个数为，则=________(用n表示) ．tgeaE。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列是一个等差数列，且，．
（1）求的通项；
（2）求前n项和的最小值．

18．（本小题满分12分）
已知是首项为1，公差为1的等差数列；若数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.

参考答案

一、选择题
1．C；解析：等比数列中，；∴ ∴；
2．B；解析：因为是公差为－2的等差数列，
∴
；
3．A；解析：因为，所以，
，；
4．D；解析：∵－9，a1，a2，－1成等差数列，所以；
∵成等比数列，所以；∴；
5．A；解析：设中间两数为，则；解得，所以；
6．B；解析：；
7．D；解析：；，∴；
8．D；解析：∵，，∴，且，∴，，；∴；
9．C；解析：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有，∴q＝＝2；
又，∴，∴2n＝8，故这个数列的项数为8；
10．A；解析：，∴由为整数得
为整数，设为，则，
∴；因为，
∴区内所有希望数为，
其和；
11．C；解析：应用等差数列的通项公式得

∴数列 也是等差数列，且前10项和为；
12．C；解析：因为是等差数列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，又，即＝38，
即（2m－1）×2＝38，解得m＝10．
二、填空题
13．；解析：该数列的前项分别可写成：
，所以数列的通项公式为；
14．；解析：∵1, a1, a2, 4成等差数列，∴；∵1, b1, b2, b3, 4成等比数列，∴，又，∴；∴；FUOxy。
15．；解析：由得，∴，
∴，；
∴=；
16．；解析：按规律，，，，……，；∴，即是等比数列，其首项为2，公比为2，故，∴=．
（本题也可由，，，……，猜想出=．）
三、解答题
17．解：（1）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以． …………6分
（2）．所以时，取到最小值．
…………12分
18．解：（1）由已知得.从而，即.（…………2分）
∴
. （…………6分）
（2）因为
，
∴. （…………12分）
19．解：（1）由已知得，∴当时，；
∴，即，∴当时，；
∴数列为等比数列，且公比； （…………4分）
又当时，，即，∴；
∴. （…………6分）Eogaj。
（2）∵，∴；
（…………9分）
∴的前项和.
（…………12分）

1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A. B. C. D.2
【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
3.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 ChPGx。
【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C
4.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63 3URSv。
【解析】故选C.
或由,
所以故选C.
5.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于
A．1 B C.- 2 D 3Mbzce。
[解析]∵且.故选C
6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝
A.－2 B.－ C. D.2
【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－
7.（等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190lV4jP。
【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100
然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。HeuSX。
2．求有关复合函数的解析式，
例6．①已知 求；
②已知 ，求．
例7．①已知 ，求；
②已知，求．
要点3：
已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。
已知求的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。
换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。VcjDx。
例8．①已知是一次函数，满足，求；
②已知，求．
要点4：
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。PhU7q。
二、练习：
１．已知，求和．
解：令，设，

令，设，
．
２．已知，求．
分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；
注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。
Key:；
注：。
三、总结：
１．复合函数的构成；
设函数，，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。4UpiR。
２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：
⑴定义域求法：
求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。ZVKKv。
⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．

四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有：
⑴ 当为整式或奇次根式时，R；
⑵ 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶ 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷ 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸ 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。VoZzx。
⑹ 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。WPO8q。
⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。