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华宏MBA联考辅导资料(一):《MBA线性代数复习提纲》(尤承业)
上篇
目录
第一章 线性代数中最基本概念
1. 矩阵
(1) 基本概念
(2) 线性运算和转置
(3) n阶矩阵和几种特殊矩阵
(4) 初等变换和阶梯形矩阵
2. 向量
(1)基本概念
(2) 线性运算和线性组合
3．线性方程组
(1) 基本概念
(2) 同解变换与矩阵消元法
第二章 行列式
1.1 形式与意义
1.2 定义(完全展开式)
1.3 性质
1.4 计算
1.5克莱姆法则
第三章 矩阵乘法和可逆矩阵
2.1 矩阵乘法定义和性质
2.2 n阶矩阵方幂和多项式
2.3乘积矩阵列向量组和行向量组
2.4 矩阵方程和可逆矩阵(随着矩阵)
2.5 矩阵乘法分块法则
2.6 初等矩阵
第四章 向量组线性关系和秩
3.1 向量组线性表达关系
3.2 向量组线性有关性
3.3 向量组极大无关组和秩
3.4 矩阵秩
第五章 线性方程组
4.1 线性方程组形式
4.2 线性方程组解性质
4.3 线性方程组解状况鉴别
4.4 齐次线性方程组基本解系 线性方程组通解分析
第六章 n阶矩阵特性向量和特性值
5.1 特性向量和特性值

第一章 线性代数中最基本概念
基本比较好考生可不必看这某些内容,或者只用本某些习题对自己进行一次测试.
1.矩阵
(1)基本概念
矩阵是描写事物形态数量形式发展.
由m´n个数排列成一种m行n列表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一种m´n型矩阵.这些数称为它元素,位于第i行第j列数称为(i,j)位元素.
元素全为0矩阵称为零矩阵,普通就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它行数相等,列数也相等(即它们类型相似),并且相应元素都相等.
(2)线性运算和转置
加(减)法:两个m´n矩阵A和B可以相加(减),得到和(差)仍是m´n矩阵,记作
A+B (A-B),法则为相应元素相加(减).
数乘：一种m´n矩阵A与应当数c可以相乘,乘积仍为m´n矩阵,记作cA,法则为A每个元素乘c.
这两种运算统称为先性运算,它们满足如下规律:
① 加法互换律：A+B=B+A.
② 加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C).
③ 加乘分派律：c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
④ 数乘结合律：c(d)A=(cd)A.
⑤ cA=0Û c=0 或A=0.
转置:把一种m´n矩阵A行和列互换,得到n´m矩阵称为A转置,记作A T(或A¢).
有如下规律：
① (AT)T= A.
② (A+B)T=AT+BT.
③ (cA)T=(cA)T.
(3) n阶矩阵 几种特殊矩阵
行数和列数相等矩阵称为方阵,行列数都为n矩阵也经常叫做n阶矩阵.
n阶矩阵A相应行列式记作|A|,称为A行列式.
把n阶矩阵从左上到右下对角线称为它主对角线.(其上运算行列号相等.)
下面列出几类惯用n阶矩阵,它们但是考试大纲中规定掌握.
对角矩阵：主对角线外元素都为0n阶矩阵.
单位矩阵：主对角线外元素都为1对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵：主对角线外元素都等于一种常数c对角矩阵,它就是cE.
上(下)三角矩阵：主对角线下(上)元素都为0n阶矩阵.
对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j，(i,j)位元素和(j ,i)位元素总是相等n阶矩阵.
反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j，(i,j)位元素和(j ,i)位元素之和总等于0n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上元素一定都是0.
(4) 矩阵初等变换和阶梯形矩阵
矩阵初等行变换有如下三种:
① 互换两行上下位置.
② 用一种非0常数乘某一行各元素.
③ 把某一行倍数加到另一行上.
类似地，矩阵尚有三种初等列变换,人们可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.
阶梯形矩阵:一种矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
① 如果它有零行,则都出当前下面.
② 每个非零行第一种非0元素所在列号自上而下严格单调递增.
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数各类计算题中频繁运用基本运算,必要十分纯熟.
2. 向量
(1)基本概念
向量是另一种描述事物形态数量形式.
由n个数构成有序数组称为一种n维向量,称这些数为它分量.
书写中可用矩阵形式来表达向量,例如分量依次是a1,a2,¼ ,an向量可表达到
a1
(a1,a2,¼ ,an)或 a2 ,
┆
an
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不同样(左边是1´n矩阵,右边n´1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵行向量和列向量区别.
一种m´n矩阵每一行是一种n维向量,称为它行向量；每一列是一种m维向量，称为它列向量.常惯用矩阵列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A列向量组为a1, a2,¼ ,an时(它们都是表达为列形式!)可记A=(a1, a2,¼ ,an).
矩阵许多概念也可对向量来规定,如向量相等,零向量等等.这里从略.
(2) 线性运算和线性组合
向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全同样运算规律,这里也不来复述了.
向量组线性组合:设a1, a2,¼ ,as是一组n维向量，c1,c2,¼ ,cs是一组数,则称
c1a1+ c2a2+¼ ,+csas为
a1, a2,¼ ,as(以c1,c2,¼ ,cs为系数)线性组合.它也是n维向量.
3．线性方程组
(1) 基本概念
线性方程组普通形式为:
a11x1+a12x2+¼ +a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+¼ +a2nxn=b2,
¼ ¼ ¼ ¼
am1x1+am2x2+¼ +amnxn=bm,
其中未知数个数n和方程式个数m不必相等.分别称矩阵
a11 a12 ¼ a1n a11 a12 ¼ a1n b1
A= a21 a22 ¼ a2n 和(A|b)= a21 a22 ¼ a2n b2
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
am1 am2 ¼ amn am1 am2 ¼ amn bm
为方程组系数矩阵和增广矩阵.
如果b1=b2=¼=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一种非齐次线性方程组每个方程常数项都换成0，所得到齐次线性方程组称为原方程组导出齐次线性方程组，简称导出组.
线性方程组解是一种n维向量(k1,k2,¼ ,kn),它满足:当每个方程中未知数xi都用ki代替时都成为等式.
线性方程组解状况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
n维零向量总是齐次线性方程组解,因而齐次线性方程组解状况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
(2) 同解变换与矩阵消元法
线性方程组同解变换有三种:
① 互换两个方程上下位置.
② 用一种非0常数乘某个方程.
③ 把某方程倍数加到另一方程上.
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
线性方程组基本求解办法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表阶梯形方程组 (它是原方程组同解方程组),用它求解.

第二章 行列式
1. 形式和意义
形式:用n2个数排列成一种n行n列表格,两边界以竖线,就成为一种n阶行列式.
如果行列式列向量组为a1, a2,¼ ,an,则此行列式可表达为|a1, a2,¼ ,an|.
意义:是一种算式,把n2个元素按照一定法则进行运算,得到数值称为这个行列式值.
请注意行列式和矩阵在形式和意义上区别.
当两个行列式值相等时,就可以在它们之间写等号！(不必形式同样,甚至阶数可不同.)
每个n阶矩阵A相应一种n阶行列式,记作|A|.

2. 定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式计算公式:
a11 a12
a21 a22 = a11a22-a12a21 .
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33.
a31 a32 a33
普通地,一种n阶行列式
a11 a12 ¼ a1n
a21 a22 ¼ a2n
¼ ¼ ¼
an1 an2 ¼ ann
值是许多项代数和,每一项都是取自不同行,不同列n个元素乘积,其普通形式为:,这里把相乘n个元素按照行标大小顺序排列,它们列标j1j2¼jn构成1,2，¼,n一种全排列(称为一种n元排列),一共有n!个n元排列,每个n元排列相应一项,因而共有n!个项..
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2¼jn)为全排列j1j2¼jn逆序数(即小数排列在大数背面现象浮现个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因而 t(231645)=4),则所乘是于是
a11 a12 ¼ a1n
a21 a22 ¼ a2n =
¼ ¼ ¼
an1 an2 ¼ ann
这里表达对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式完全展开式.

3.性质
行列式有如下性质:
① 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| .
② 某一行(列)公因子可提出.
③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式该行(列)向量a换为b或g 所得到行列式.
④ 把两个行(列)向量互换，行列式值变号.
⑤ 如果一种行(列)向量是另一种行(列)向量倍数,则行列式值为0.
⑥ 如果把一种行(列)向量倍数加到另一种行(列)向量上,则行列式值不变.
把n阶行列式第i行和第j列划去后所得到n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为aij代数余子式.
⑦ 行列式可对某一行(列)展开,即行列式值等于该行列)各元素与其代数余子式乘积之和.
⑧ 某一行(列)各元素与另一行(列)相应元素代数余子式乘积之和=0.
⑨ 如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A * = A O =|A|+|B|.
O B * B
范德蒙行列式:形如
1 1 1 ¼ 1
a1 a2 a3 ¼ an
a12 a22 a32 ¼ an2
¼ ¼ ¼
a1n-i a2n-i a3n-i ¼ ann-i
行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,¼,an所决定,它值等于

因而范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,¼,an两两不同.

4.计算
行列式核心问题是值计算.
(1)用完全展开式求行列式值普通来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才也许用它作行列式计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式值就等于主对角线上元素乘积,由于其他项都为0.
(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质⑥把这行(列)元素消到只有一种或很少几种不为0,再用⑦,对这行(列)展开.例如设4阶行列式

1 1 1 1
D= 2 x 3 1 ,
2 2 x 4
3 3 4 x
取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到
1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2
D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =(x+2) 1 x-3 =(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).
2 0 x-2 2 0 1 x-3
3 0 1 x-3
(3)运用性质简化计算,重要应用于元素有规律行列式,涉及n阶行列式.
5.克莱姆法则
克莱姆法则 当线性方程组方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D，D2/D,¼,Dn/D),这里D是系数行列式值，Di是把系数行列式第i个列向量换成常数列向量所得到行列式值.
两点阐明:
① 按法则给公式来求解计算量太大，没有实用价值.因而法则重要意义在理论上.
(实际求解办法:对增广矩阵(A|b)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时b变为解.)
② 法则改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解充分必要条件.
练习题一
1．计算行列式
(1) 2 a a a a
a 2 a a a
a a 2 a a
a a a 2 a
a a a a 2 .
(2) 1 4 9 16
4 9 16 25
9 16 25 36
16 25 36 49 .
2. (1) a 0¼0 b (2) a1 0 a2 0
0 0 0 b1 0 b2
0 0 c1 0 c2 0
c 0¼0 d . 0 d1 0 d2 .
3. 计算n阶行列式
(1) 1 2 3 … n-1 n
-1 2 3 … n-1 n
-1 –2 3 … n-1 n
… … … …
-1 –2 –3 … 1-n n ．
(2) 1 -2 -2 … -2 -2 (3) 1 2 3 … n (4) 1 a1 0 … 0 0
2 2 -2 … -2 -2 2 1 2 … n-1 -1 1-a1 a2 … 0 0
2 2 3 … -2 -2 3 2 1 … n-2 0 -1 1-a2 … 0 0
… … … … … … … … … … …
2 2 2 … 2 n ． n n-1 n-2 … 1 ． 0 0 0 … -1 1-an ．
4. 设4阶矩阵A=(a，g1，g2 ,g3),B=(b，g1，g2 ,g3),|A| =2，|B|=3 ,求|A+B| .

5. 一种三阶行列式值为8，它第二行元素是1，2，a，它们余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a =( ).
6. x3-3 1 -3 2x+2
多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)次数，最高次项系数和常数项.
X+3 -1 3 3x2-2
9 x3 6 -6
7. x-2 x-1 x-2 x-3
求多项式f(x)= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 次数.
3x-3 3x-2 4x-5 3x-5
4x 4x-3 5x-7 4x-3

8.已知 x-3 a -1 4
f(x)= 5 x-8 0 –2 根为x1，x2，x3，x4,求x1+x2+x3+x4.
0 b x+1 1
2 2 1 x
9. 求行列式 0 1 0 0 … … 0 所有代数余子式和.
0 0 2-1 0 … … 0
0 0 0 3-1… … 0
… … … …
0 0 0 0 … …(n-1)-1
n-1 0 0 0 … … 0
10． a b c d
已知行列式 x -1 -y z1 代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
1 -z x+3 y
y-2 x+1 0 z+3

参照答案
1.(1) 把各列都加到第1列上,提出公因子. 得(4a+2)(a-2)4.
(2) 自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.
2.用换行(列)办法.得
(1) (ad-bc)|B|.(3) (a1c2- a2c1)(b1d2-b2d1).
3. (1)提示：把第一行加到其他各行． 得2n-1n！．
(2) 第3到n行各减第二行． 得(n+2)!/4．

(3) 提示：自下而上各行减去上行． 得(-1)n-12 n-2(n+1) ．
(4) 提示：从第2行起，自上而下各行加上行． 得1 ．
4. 得40.
5. 得8.
6. 最高次只出当前下面划线4个元素乘积一项中,常数项即f(0).得9 ,6，0.
7. 2.
8. 提示:运用特性值性质.得10.
9. 提示:运用随着矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.
10.x=0,y=3,z=-1.

第三章 矩阵乘法和可逆矩阵
1. 矩阵乘法定义和性质
定义2.1 当矩阵A列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB行数和A相等,列数和B相等. AB(i,j)位元素等于A第i个行向量和B第j个列向量(维数相似)相应分量乘积之和.
矩阵乘法在规则上与数乘法有不同:
① 矩阵乘法有条件.
② 矩阵乘法无互换律.
③ 矩阵乘法无消去律,即普通地
由AB=0推不出A=0或B=0.
由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)
由BA=CA和A=0推不出或B=C. (无右消去律)
把数乘法性质简朴地搬用到矩阵乘法中来,这是常用错误.
矩阵乘法适合如下法则：
① 加乘分派律 A(B+C)= AB+AC，(A+B)C=AC+BC.
② 数乘性质 (cA)B=c(AB).
③ 结合律 (AB)C= A(BC).
④ (AB)T=B TA T.

2.n阶矩阵方幂和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.
(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.
(2)如果AB=BA,则说A和B可互换.
(3)方幂 设k是正整数，n阶矩阵Ak次方幂A k即k个A连乘积.规定A 0=E .
显然A 任何两个方幂都是可互换,并且方幂运算符合指数法则:
① A kA h= A k+h.
② (A k)h= A kh.
但是普通地(AB)k¹A kB k.
(3) n阶矩阵多项式 乘法公式
设f(x)=amxm+am-1xm-1+¼+a1x+a0,对n阶矩阵A规定
f(A)=amA m+am-1A m-1+¼+ a1A +a0 E.
称为A一种多项式.请特别注旨在常数项上加单位矩阵E.
普通地,由于互换性问题,乘法公式对于n阶矩阵多项式不再成立,如果所浮现n阶矩阵互相都是互换,则乘法公式成立.例如
(A±B)2=A2±2AB+B2Û A和B可互换.
(A+B)(A-B)=A2-B2Û A和B可互换.
A和B可互换Þ(不是Û!)有二项公式：