2021年数二基本知识点.docx

数二　——　基本知识点
Deran Pan
.8.11

目录
第一章 极限 4
一、 定理 4
二、 重要极限 4
三、 等价无穷小 4
六、 积分和求极限 4
四、 佩亚诺余项泰勒展开 4
第二章 一元函数微分 5
一、 函数微分 5
二、 微分运算法则 5
三、 基本微分公式 5
四、 变限积分求导 5
五、 N阶导数 5
六、 参数方程导数 5
七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则 5
八、 反函数的一阶、二阶求导 5
九、 单调、极值、凹凸、拐点 5
十、 渐近线 5
十一、 曲率 6
十三、 泰勒定理 6
十四、 极限与无穷小的关系 6
十五、 附 6
第三章 一元函数积分 7
一、 定理 7
二、 基本积分公式 7
三、 基本积分方法 7
四、 一个重要的反常积分 7
五、 定积分的应用 7
第四章 多元函数微分 8
一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，则fx,y在该点连续 8
二、 求重极限方法 8
三、 可微性讨论 8
四、 复合函数微分 8
五、 高阶偏导 8
六、 隐函数求导 8
七、 二元函数极值的充分条件 8
八、 条件极值、拉格朗日乘数法 8
九、 二重积分 8
十、 柯西积分不等式 10
第五章 常微分方程 11
一、 一阶微分方程 11
二、 可降阶的高阶微分方程 11
三、 高阶常系数微分方程 11
第一章 行列式 12
一、 余子式&代数余子式 12
二、 几个重要公式 12
三、 抽象n阶方阵行列式公式 12
第二章 矩阵 12
一、 运算规则 12
二、 特殊矩阵 12
三、 可逆矩阵 12
四、 秩 13
第三章 向量 13
一、 线性表出、线性相关、极大线性无关组 13
二、 施密特正交化 13
三、 正交矩阵 13
第四章 线性方程组 14
一、 克拉默法则 14
二、 齐次线性方程组、基础解系 14
三、 非齐次线性方程组、通解结构 14
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 14
一 特征值、特征向量 14
二、 相似矩阵 14
三、 实对称矩阵 15
四、 矩阵、特征值、特征向量 15
五、 判断A是否相似于对角 15
第六章 二次型 15
一、 二次型 15
二、 标准型 15
三、 规范型 15
四、 化二次型为标准型，规范型 15
五、 合同 16
六、 惯性定理 16
七、 实对称矩阵A、B合同的充要条件 16
八、 正定 16
九、 正定阵性质 16
后记 17

第一章 极限

一、 定理
夹逼定理，单调有界定理
二、 重要极限
1.limx→0sinxx=1 2.limx→01+x1x=e
3.limn→∞nn=1 4.limx→0+xδ∙In xk=0
5.limx→∞xk∙e-δx=1
三、 等价无穷小
当 x→0时：
1、 sinx~x、
2、 tanx~x、
3、 1-cosx~12x2
4、 ex-1~x
5、 In 1+x~x
6、 1+xα-1~α∙x
7、 arcsinx~x
8、 arctanx~x
9、 αx-1~x∙Inα
10、 xm+xk~xm，(k>m>0)
一、
二、
三、
四、
五、 洛必达法则
六、 积分和求极限
limn→∞un=limn→∞1n∙i=1nfin=01fxdx

一、
二、
三、
四、 佩亚诺余项泰勒展开
1、 ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+Oxn
2、 sinx=x-13!x3+⋯+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+2
3、 cosx=1-12!x2+⋯+-1n2n!x2n+Ox2n+1
4、 In 1+x=x-x22+x33+⋯+-1n-1xnn+Oxn
5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+⋯+m×m-1×⋯×m-n+1n!xn+Oxn

第二章 一元函数微分

一、 函数微分
dy=A∆x+ox=Adx+ox
二、 微分运算法则
1 u±v'=u'±v'
2、 u∙v'=u'∙v+u∙v'
3、 C∙u'=C∙u'
4、 uv'=u'v-uv'v2
三、 基本微分公式
1、 C'=0
2、 xα'=α∙xα-1
3、 αx'=αx∙Inα
4、 ex'=ex
5、 logαx'=1x∙Ina
6、 cosx'=-sinx
7、 sinx'=cosx
8、 cotx'=-cscx2
9、 tanx'=secx2
10、 secx'=secx∙tanx
11、 cscx'=-cscx∙cotx
12、 arcsinx'=11-x2
13、 arccosx'=-11-x2
14、 arctanx'=11+x2
15、 arccotx'=-11+x2

四、 变限积分求导
φ1xφ2xftdt'
=fφ2x∙φ2'x-fφ1x∙φ1'x
五、 N阶导数
1、 u±vn=un±vn
2、 u∙vn=un∙v+Cn1∙un-1∙v1+⋯
+Cnk∙un-k∙vk+⋯+u∙vn
六、 参数方程导数
yx'=yt'xt'
yxx''=yx't'xt'=xt'∙ytt''-xtt''∙yt'xt'3
七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则
八、 反函数一阶、二阶求导
dxdy=1dydx=1f'x
φ''y=-f''xf'x3
九、 单调、极值、凹凸、拐点
十、 渐近线
水平渐近线：limx→∞fx=b
铅直渐近线：limx→x0fx=b
斜渐近线：limx→x0fxx=a，limx→x0fx-a∙x=b
十一、 曲率
k=|y''|1+y'232
R=1k=1+y'232|y''|
十二、 定理
费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
十三、 泰勒定理
fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+⋯+fnx0n!x-x0n+Rnx
十四、 极限与无穷小关系
limx→x0fx=A⟺fx=A+αx，
其中limx→x0αx=0

十五、 附
麦克劳林公式：
fx=f0+f'01!∙x+f''02!∙x2+⋯+fn0n!∙xn+Rnx
x0=0

泰勒公式：
fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+⋯+fnx0n!x-x0n+Rnx

n=0
拉格朗日余项：
Rnx=fn+1ξn+1!x-x0n+1
fx=fx0+f'ξ1x-x0
fx-fx0=f'ξ∙x-x0
拉格朗日中值定理

n=1
佩亚诺余项：
Rn=Ox-x0n
fx=fx0+f'x01x-x0+Ox-x0
fx-fx0=f'x0∙x-x0+Ox-x0
∆y=f'x0∙∆x+Ox-x0
增量与微分关系式

第三章 一元函数积分
一、 定理
1、 定积分存在定理
2、 原函数存在定理
3、 积分中值定理
abfxdx=f'ξ∙b-a
二、 基本积分公式
1、 xαdx=1α+1∙xα+1+C
2、 1xdx=Inx+C
3、 αxdx=αxInα+C
4、 exdx=ex+C
5、 sinxdx=-cosx+C
6、 cosx dx=sinx+C
7、 tanxdx=-Incosx+C
8、 cotxdx=Insinx+C
9、 secxdx=Insecx+tanx+C
10、 cscxdx=Incscx-cotxC
11、 sec2xdx=tanx+C
12、 csc2xdx=-cotx+C
13、 1α2+x2dx=1αarctanxα+C
14、 1α2-x2dx=12αInα+xα-x+C
15、 1α2-x2dx=arcsinxα+C
16、 1x2±α2dx=Inx+x2±α2+C
三、 基本积分办法
1、 凑微分法
2、 换元积分法
a) 含a2-x2，命x=a∙sint
b) 含x2+a2，命x=a∙tant
c) 含x2-a2，命x=a∙sect
3、 某些积分法
4、 运用被积函数奇偶性
5、 拆项积分
四、 一种重要反常积分
-∞+∞e-x2dx20+∞e-x2dx=π
五、 定积分应用
1、 平面图形面积
A=aby2x-y1xdx
A=cdx2x-x1xdy
A=12αβρ2θdθ
2、 平面曲线弧长
S=abx't2+y't2dt
S=ab1+y'x2dx
S=αβρ2θ+ρ'θ2dθ
3、 旋转体体积
V=πaby2xdx
V=πaby22x-y12xdx
V=2πabxy2x-y1xdx
4、 旋转曲面面积
S=2πab|y|∙1+f2xdx
S=2πab|yt|∙x't2+y't2dt

第四章 多元函数微分
一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，则fx,y在该点持续
二、 求重极限办法
1、 运用极限性质、四则运算、夹逼准则等
2、 消除分母中为零因子，有理化、等价无穷小等
3、 转化为一元函数求极限
4、 运用无穷小乘以有节量仍为无穷小
三、 可微性讨论
1、 可微
a) 考察fx'x0,y0和fy'x0,y0与否都存在。
b) 考察
lim∆x→0∆y→0fx0+∆x,y0+∆y-fx0,y0-fx'x0,y0∆x+fy'x0,y0∆y∆x2+∆y2=0
与否成立。
2、 可微必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。
3、 可微充分条件：有持续一阶偏导函数一定可微。
四、 复合函数微分
1、 一元与多元复合
dzdt=dzdu∙dudt+dzdv∙dvdt
2、 多元与多元复合
∂z∂x=∂z∂u∙∂u∂x+∂z∂v∙∂v∂x、∂z∂y=∂z∂u∙∂u∂y+∂z∂v∙∂v∂y
3、 全微分形式不变
dz=∂z∂x∙dx+∂z∂y∙dy
=∂z∂u∙du+∂z∂v∙dv
五、 高阶偏导
∂2z∂x2=∂∂x∂z∂x=fxx''x,y
∂2z∂x∂y=∂∂y∂z∂x=fxy''x,y
∂2z∂y∂x=∂∂x∂z∂y=fyx''x,y
∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=fyy''x,y
fxy''x,y 与 fyx''x,y 相等，顺序无关
六、 隐函数求导
1、 运用公式
a) 一元：dydx=-Fx'Fy'
b) 二元：∂z∂x=-Fx'Fz'、∂z∂y=-Fy'Fz'
2、 方程组两端分别求导
3、 运用微分形式不变，方程两端求微分
七、 二元函数极值充分条件
若 fx'x0,y0=0 以及 fy'x0,y0=0
设 A=fxx''x0,y0、B=fxy''x0,y0、C=fyy''x0,y0
则：
AC-B2>0，取极值，A>0为极小值，A<0为极大值
AC-B2<0，无极值
AC-B2=0，不能拟定
八、 条件极值、拉格朗日乘数法
1、 构造拉格朗日函数
Fx,y,λ=fx,y+λ∙φx,y
2、 解方程组
∂F∂x=∂f∂x+λ∙∂φ∂x=0
∂F∂y=∂f∂y+λ∙∂φ∂y=0
∂F∂λ=φx,y=0
所有满足解点是也许极值点
九、 二重积分
1、 性质
a) 比较定理
b) 估值定理
c) 中值定理
2、 计算
a) 直角坐标系下计算
i. 适合先y后x积分域

D fx,ydδ=abdxφ1xφ2xfx,ydy
ii. 适合先x后y积分域

D fx,ydδ=abdyφ1yφ2yfx,ydx
b) 极坐标下计算
i. 极点O在区域D之外

D fx,ydδ
=αβdθρ1θρ2θfρcosθ,ρsinθ∙ρdρ
ii. 极点O在区域D边界上

D fx,ydδ

=αβdθ0ρθfρcosθ,ρsinθ∙ρdρ
iii. 极点O在区域D内部

D fx,ydδ
=02πdθ0ρθfρcosθ,ρsinθ∙ρdρ

iv. 环形域

D fx,ydδ
=02πdθρ1θρ2θfρcosθ,ρsinθ∙ρdρ
3、 运用对称性和奇偶性
a) 对称性
i. 若积分域关于x或y对称
ii. 若积分关于直线x=y对称，则
fx,ydδ=fy,xdδ
十、 柯西积分不等式
f(x)∙gxdx2≤f2xdx+g2xdx

第五章 常微分方程
一、 一阶微分方程
1、 可分离变量方程
2、 齐次方程
dydx=fyx，令u=yx，则y=ux
dydx=u+xdudx
3、 线性方程
y'=Px∙y=Qx
y=e-PxdxQ(x)∙ePxdxdx+C
二、 可降阶高阶微分方程
1、 重复积分，y(n)=f(x)
2、 不是具有y二阶微分方程
y''=fy',x，令P=y'
则：y''=dPdx，dPdx=f(P,x)
3、 不是具有x二阶微分方程
y''=f(y',y)，令P=y'
则：y''=dPdx=dPdy∙dydx=y'∙dPdy=P∙dPdy
三、 高阶常系数微分方程

1、 齐次方程：+py'+qy=0
a) 解特性值：τ1、τ2 。τ2+pτ+q=0
i. 有不相似两个实根：
y=C1∙eτ1x+C2∙eτ2x
ii. 有一对相等实根：
y=C1+C2∙xeτx
iii. 有一对共轭复根α±iβ：
y=eαxC1cosβx+C2sinβx
2、 非齐次方程：y''+py'+qy=f(x)
a) 通解形式为y=Y(x)齐次解+y*特解
i. 若fx=eλxQmx，则设
y*=xkeλxPmx。
k为特性值λ重数
ii. 若fx=eαxQlxcosβx +Qnxsinβx，则设
y*=xkeαxPlxcosβx +Pnxsinβx
k为特性值α±iβ重数

第一章 行列式
一、 余子式&代数余子式
二、 几种重要公式
1、 上（下）三角形行列式A
A=a11∙a22∙⋯∙ann
2、 副对角线行列式A
A=-1nn-12∙a1n∙a2n-1∙⋯∙an1
3、 A、B分别是m阶，n阶矩阵
A*OB=AO*B=|A|∙|B|
OAB*=*ABO=-1m∙n∙|A|∙|B|
4、 范德蒙行列式
11 x1 x1 ⋯ 1 ⋯ x1⋮⋮xnn-1xnn-1⋮⋮xnn-1xnn-1=1≤j
A*=An-1
A**=An-2∙A
6、 方阵幂
Akl=Akl
Ak∙Al=Ak+l
二、 特殊矩阵
单位阵 数量阵 对角阵 上\下三角阵
对称阵 发对称阵 正交阵 初等矩阵
随着矩阵
三、 可逆矩阵
1、 运算性质
kA-1=1kA-1
AB-1=B-1∙A-1，A2-1=A-12
AT-1=A-1T
A-1-1=A
A-1=1A
2、 求逆矩阵
a) 公式法：A-1=1AA*
b) 初等变换：AE=EA-1
c) 分块矩阵：
BOOC-1=B-1OOC-1
OBCO-1=OC-1B-1O
四、 秩
1、 rA=rAT
2、 rkA=rA
3、 rA+B≤rA+rB
4、 rAB≤minrA，rB
5、 若A可逆，rAB=rB=rBA
6、 若A是m×n阵，B是n×s阵，AB=O，则
rA+rB≤n
7、 分块矩阵：
rAOOB=rA+rB

第三章 向量
一、 线性表出、线性有关、极大线性无关组
二、 施密特正交化
β1=α1
β2=α2-α2,β1β1,β1β1
β3=α3-α3,β2β2,β2β2-α3,β1β1,β1β1
τ1=β1β1、τ2=β2β2、τ3=β3β3
τ1，τ2，τ3则是正交规范向量组
三、 正交矩阵
1、 AAT=ATA=E
2、 A是正交矩阵⇔AT=A-1
⇔A行（列）向量是正交规范向量组
3、 如A是正交矩阵，则行列式A=±1

第四章 线性方程组
一、 克拉默法则
二、 齐次线性方程组、基本解系
三、 非齐次线性方程组、通解构造

第五章 特性值、特性向量、相似矩阵
一、 特性值、特性向量
1、 若Aα=λα，则：
则称λ是A特性值，α是A相应于λ特性向量。
（特性方程、特性多项式、特性矩阵）
2、 性质
a) i=1nλi=i=1naii
b) i=1nλi=A
3、 求法
a) λE-A=0解出特性值
b) λiE-AX=0j解出特性向量
二、 相似矩阵
1、 若P-1AP=B，则A∼B
2、 N阶矩阵A可对角化
⇔特性向量α1，α2线性无关
3、 λ1≠λ2是A特性值
⇔特性向量α1，α2线性无关
4、 λ是Ari重特性值，则该特性值得特性向量应不大于等于ri
5、 性质：
a) A~A，反身性
b) A~B⇒B~A，对称性
c) 若A~B，B~C⇒A~C，传递性
6、 两矩阵相似必要条件
A~B⇒λE-A=λE-B
⇒rA=rB
⇒A=B=i=1nλi
三、 实对称矩阵
1、 元素aij都是实数对称矩阵
2、 A.实对称矩阵特性值所有是实数
B.实对称矩阵属于不同特性值相应特性向量互相正交
C.实对称矩阵必相似于对角阵，即存在P-1AP=Λ，且存在正交阵Q使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
3、 实对称矩阵相似于对角阵环节
a) λE-A0解出所有λi
b) λiE-AX=0解出所有特性值特性向量
c) 正交化λi特性向量
d) 将所有特性向量单位化
e) 即有Q-1AQ=QTAQ=Λ
四、 矩阵、特性值、特性向量
矩阵
特性值
特性向量
A
λ
α
kA
kλ
α
Ak
λk
α
fA
fλ
α
A-1
λ-1
α
A*
Aλ
α
A-1+fA
1λ+fλ
α
五、 判断A与否相似于对角
1、 A与否是实对称矩阵
2、 若A不是，看A与否有n个互不相似特性值
3、 若A有r重根，看相应与否有r个线性无关特性向量

第六章 二次型
一、 二次型
1、 矩阵表达
fx1,x2,⋯,xn=i=1nj=1naijxixj
=x1x2⋯xna11a12a21a22⋯a1n⋯a2n⋮⋮an1an2⋮⋮⋯annx1x2⋮xn
=XTAX
其中AT=A是对称矩阵，为二次型f对于矩阵
2、 若A、B是两个n阶对称阵，f=XTAX，g=XTBX：
a) 若A=B⇔f=g
b) 若A≃B⇔f合同于g
c) 若rA=r⇔rf=r
d) 若A正定⇔f正定
二、 原则型
若二次型fx1,x2,⋯,xn只有平方项，没有混合项则为原则二次型。
fx1,x2,⋯,xn=XTAX
=d1x12+⋯+dpxp2-dp+1xp+12-⋯-dp+qxp+q2
p+q=r≤n
三、 规范型
在二次型原则型中，若平方项系数di只取1、-1、0，则该二次型为规范型
四、 化二次型为原则型，规范型
1、 对于任意一种n元二次型f=XTAX，必存在正交变换X=QY，Q是正交阵：
　　fx1,x2,⋯,xn=XTAX
　　　　　　　=YTQTAQY
　　　　　　　=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2
2、 任意一种二次型f，都可以通过（配办法）可逆线性变换X=CY，其C可逆化为原则型：
　　fx1x2,⋯,xn=XTAX
　　　　　　　=YTCTACY
　　　　　　　=d1y12+d2y22+⋯+dnyn2
五、 合同
设A、B两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得
CTAC=B
则称A合同于B，记A≃B
六、 惯性定理
作可逆线性变换化原则型时，线性变化不唯一，原则型也不唯一。但是原则型中正平方项数p和负平方项数q都是由二次型唯一拟定。
p：正惯性指数
q：负惯性指数
p+q：二次型秩
p-q：符号差
七、 实对称矩阵A、B合同充要条件
实对称阵A≃B
　　　　⇔XTAX、XTBX有相似正负惯性指数
八、 正定
1、 fx1,x2,⋯,xn=i=1nj=1naijxixj=XTAX>0，则称f正定
2、 可逆线性变化不变化二次型正定性
3、 f正定充要条件：
　　f=XTAX正定
　　　⇔A惯性指数p=r=n
　　　⇔A≃E，
　　　　即存在CTAC=E⇔A=DTD，CD可逆
　　　⇔A所有特性值λi>0
　　　⇔A所有顺序主子式不不大于零
4、 f正定必要条件：
　　f=XTAX正定
　　　⇒A主对角元素aii>0
　　　⇒A行列式A>0
　　　⇒A主对角元素aii>0
九、 　正定阵性质
1、 任意秩为rn阶实对称矩阵钧与对角矩阵合同，其中p由A唯一拟定，Λ称为A合同原则型。
Λ=Ep-Er-p
2、 n阶矩阵A正定期与A关于矩阵kA、AT、Ak、A-1、A*、fA等均是正定矩阵。

后记
离开学已近在咫尺，从辞职考研到当前也已通过去一年多时间。回忆这一年多时间虽然有遗憾和不满，但更多是充实与高兴。
虽然中间有过无多次想放弃想法，诸多次接到邀约去面试电话，看到过心仪公司发布招聘信息。但庆幸我没有放弃，并坚持了下来。人们说艰辛经历回忆起来总是甜，或许就是如此吧。
这篇文档曾是我笔记，顾于丢失，因此写此文档存于网上，就当是自己经历过一种留念吧。
最后，愿所有还在坚持并将始终坚持下去考研者们梦想成真。同步也感谢这一路支持我人，感谢我父母，女朋友尚有我曾经同事们。