圆锥曲线笔记D.doc

圆锥曲线笔记D
D.解析圆锥曲线（上）（用解析几何研究圆锥曲线）
1.圆锥曲线的准圆
a. 椭圆的内准园与外准圆 y
P
A

o x
B
设椭圆的方程为
内准圆定义：在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为90度称为内准圆
外准圆定义：椭圆两条垂直切线交点的轨迹

b.双曲线的虚实准圆
设双曲线的方程为
虚准圆定义：与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其相切的双曲线的弦的中心角为90的圆被称为双曲线的虚准圆（必须有b>a>0,否则不存虚准圆） 33vB4pq。yh4XzgL。

设双曲线弦AB方程为y=kx+m

实准圆定义：类似与椭圆的外准圆，双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹（必须有：a>b>0,否则不存在实准圆）kpQEHic。6IHPro6。

C.抛物线的准线是特殊的准圆
准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在，但是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线，可以理解为半径无大的圆L6gnsmg。6o4Qg8x。

结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不再赘述（用解析法同样可以轻松得到）

2. 圆锥曲线直线过定点问题
圆锥曲线的定点问题是让很多人感到头疼的问题，以至于对此类问题形成畏惧心理，观其本质其实并不复杂，主要问题是在于计算量过大，本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问题希望能对大家有所帮助。oouhIKk。Srw3Mu6。
对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现形式，一般将直线设为斜截式y=kx+m或x=ky+n只要找出斜率与截距的一次线性关系即可确定直线过定点，明确此节我们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率与截距的关系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3则直线过（3，3）点）PN4tQBL。G08i8Lk。
a. 斜率定积
当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与两动点的连线的斜率乘积（乘积不等于0，以及）为一定值时，两动点的连线必然过定点CLnIh2l。u8r3E9D。
1. 椭圆
2.双曲线
3.抛物线

附加：圆锥曲线的共轭性质
1.直线定向
本节中证明了当斜率乘积为定值（不等于0，不等于）
对于定值等于时，有心圆锥曲线会使上节中两动点的连线定向（斜率为定值）而不过定点。（以椭圆为例）
下证明之（条件同上节，只是）
双曲线证明过程几乎一样不再赘述（也可以曲线方程为一般的有心圆锥曲线直接证明）
2. 中垂定理于圆锥曲线的推广
圆的任意一条弦中点于圆心的连线必与弦垂直，椭圆其实被压扁的圆，也该存在类似的性质，进而推广至其他圆锥曲线。mSBX4lq。ZaENfuj。

Dfijf
事实证明也确实如此
椭圆
双曲线

抛物线
圆

0
-1
由此我们还可以得到另一性质

P T
B
O
A
如图:T为PB的中点，AB过圆锥曲线的中心我们已经证明了（抛物线无中心）这与斜率乘积为定值中定值=不谋而合！yIcHuWV。LjRIhrm。
3. 圆锥曲线共轭弦性质 y
P
O x
A B
过圆锥曲线上一定点P引两条动弦PA,PB,若有则
AB定向且（下以椭圆，抛物线为例以不同的方法证之）
a. 椭圆

P
T H
A S O
Q B
法二:如图T,H,S分别为AP,BP,AB的中点

法三：如图P点关于椭圆对称轴的对称点为Q()
或（）

2. 双曲线与抛物线
圆锥曲线中直线过定点问题还有另一种
Y

o 定点 x

如图所示：圆锥曲线（椭圆为图例）外有一定直线t,T为t上一动点过t作圆锥曲线的两条切线，连接切点形成圆锥曲线的弦称为T关于的圆锥曲线的切点弦，当T点在t上运动时切点弦也随之变化，但无论如何T点的切点弦必然过一定点。这种问题乍一看会感到特别复杂，其实弄清楚了其中的原委后，更会让我们感受到圆锥曲线中蕴含几何性质的魅力！（在解析圆锥曲线（下）中讲解）LrycpjR。gprNJ0x。