1、基本不等式专题辅导一、知识点总结、基本不等式原始形式(1)若,则 (2)若,则、基本不等式一般形式(均值不等式)若,则3、基本不等式得两个重要变形(1)若,则()若,则总结:当两个正数得积为定植时,它们得与有最小值; 当两个正数得与为定植时,它们得积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“”、求最值得条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1)若,则 (当且仅当时取“=”)(2)若,则(当且仅当时取“=”)()若,则 (当且仅当时取“”)(4)若,则(5)若,则特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“”6、柯西不等式 (1
2、)若,则()若,则有:()设就是两组实数,则有二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设均为正数,证明不等式:2、已知为两两不相等得实数,求证:3、已知,求证:4、 已知,且,求证:5、 已知,且,求证:6、(013年新课标卷数学(理)选修45:不等式选讲设均为正数,且,证明:(); ()、7、(2013年江苏卷(数学)选修4-5:不等式选讲已知,求证:题型二:利用不等式求函数值域、求下列函数得值域() (2)() (4)题型三:利用不等式求最值(一)(凑项) 1、已知,求函数得最小值;变式1:已知,求函
3、数得最小值;变式2:已知,求函数得最大值;练习:、已知,求函数得最小值; 2、已知,求函数得最大值;题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)1、当时,求得最大值;变式1:当时,求得最大值;变式2:设,求函数得最大值。2、若,求得最大值;变式:若,求得最大值;3、求函数得最大值; (提示:平方,利用基本不等式)变式:求函数得最大值;题型五:巧用“1”得代换求最值问题1、已知,求得最小值;法一:法二:变式1:已知,求得最小值;变式:已知,求得最小值;变式3:已知,且,求得最小值、变式:已知,且,求得最小值;变式5:(1)若且,求得最小值;()若且,求得最小值;变式6:已知正项等比数
4、列满足:,若存在两项,使得,求得最小值;题型六:分离换元法求最值(了解)、求函数得值域;变式:求函数得值域;2、求函数得最大值;(提示:换元法)变式:求函数得最大值;题型七:基本不等式得综合应用、已知,求得最小值2、(200天津)已知,求得最小值;变式:(1四川)如果,求关于得表达式得最小值;变式2:(20湖北武汉诊断)已知,当时,函数得图像恒过定点,若点在直线上,求得最小值;3、已知,求最小值;变式1:已知,满足,求范围;变式2:(21山东)已知,求最大值;(提示:通分或三角换元)变式3:(211浙江)已知,求最大值;4、(2013年山东(理)设正实数满足,则当取得最大值时,得最大值为( &
5、nbsp; )( )、 B、 C、 D、(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)变式:设就是正数,满足,求得最小值;题型八:利用基本不等式求参数范围1、(2012沈阳检测)已知,且恒成立,求正实数得最小值;、已知且恒成立,如果,求得最大值;(参考:4)(提示:分离参数,换元法)变式:已知满则,若恒成立,求得取值范围;题型九:利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 若,则2、二维形式得柯西不等式得变式3、二维形式得柯西不等式得向量形式4、三维柯西不等式若,则有:5、一般维柯西不等式设就是两组实数,则有:题型分析题型一:利用柯西不等式一般形式求最值1、设,若,则得最小值为 时, 析: 最小值为此时 ,、设,求得最小值,并求此时之值。:3、设,求之最小值为 ,此时 (析:)4、(013年湖南卷(理)已知则得最小值就是 ()、(013年湖北卷(理)设,且满足:,求得值;6、求 得最大值与最小值。(:最大值为,最小值为 -)析:令 = (2inq,cosq,-cosq),= (1,if,cof)
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