1、
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
１、基本不等式原始形式
(1)若,则
(2)若,则
２、基本不等式一般形式(均值不等式)
若,则
3、基本不等式得两个重要变形
(1)若,则
(２)若,则
总结:当两个正数得积为定植时,它们得与有最小值;
当两个正数得与为定植时,它们得积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“＝”
４、求最值得条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论
(1)若,则 (当且仅当时取“=”)
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
(３)若,则 (当且仅当时取“＝
2、)
(4)若,则
(5)若,则
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“＝”
6、柯西不等式
(1)若,则
(２)若,则有:
(３)设就是两组实数,则有
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设均为正数,证明不等式:≥
2、已知为两两不相等得实数,求证:
3、已知,求证:
4、 已知,且,求证:
5、 已知,且,求证:
6、(２013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ)、
7、(2013年江苏卷(数学)选修4-5:不等式选讲
已知,求证:
3、
题型二:利用不等式求函数值域
１、求下列函数得值域
(１) (2)
(３) (4)
题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)
1、已知,求函数得最小值;
变式1:已知,求函数得最小值;
变式2:已知,求函数得最大值;
练习:１、已知,求函数得最小值;
2、已知,求函数得最大值;
4、
题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)
1、当时,求得最大值;
变式1:当时,求得最大值;
变式2:设,求函数得最大值。
2、若,求得最大值;
变式:若,求得最大值;
3、求函数得最大值;
(提示:平方,利用基本不等式)
变式:求函数得最大值;
题型五:巧用“1”得代换求最值问题
1、已知,求得最小值;
法一:
5、
法二:
变式1:已知,求得最小值;
变式２:已知,求得最小值;
变式3:已知,且,求得最小值、
变式４:已知,且,求得最小值;
变式5:
(1)若且,求得最小值;
(２)若且,求得最小值;
变式6:已知正项等比数列满足:,若存在两项,使得,求得最小值;
题型六:分离换元法求最值(了解)
１、求函数得值域;
变式
6、求函数得值域;
2、求函数得最大值;(提示:换元法)
变式:求函数得最大值;
题型七:基本不等式得综合应用
１、已知,求得最小值
2、(200９天津)已知,求得最小值;
变式１:(２０1０四川)如果,求关于得表达式得最小值;
变式2:(20１２湖北武汉诊断)已知,当时,函数得图像恒过定点,若点在直线上,求得最小值;
3、已知,,求最小值;
7、
变式1:已知,满足,求范围;
变式2:(2０1０山东)已知,,求最大值;(提示:通分或三角换元)
变式3:(2０11浙江)已知,,求最大值;
4、(2013年山东(理))设正实数满足,则当取得最大值时,得最大值为( ) ( )
Ａ、 B、 C、 D、
(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)
8、
变式:设就是正数,满足,求得最小值;
题型八:利用基本不等式求参数范围
1、(2012沈阳检测)已知,且恒成立,求正实数得最小值;
２、已知且恒成立,如果,求得最大值;(参考:4)
(提示:分离参数,换元法)
变式:已知满则,若恒成立,求得取值范围;
题型九:利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
若,则
2、二维形式得柯西不等式
9、得变式
3、二维形式得柯西不等式得向量形式
4、三维柯西不等式
若,则有:
5、一般维柯西不等式
设就是两组实数,则有:
题型分析
题型一:利用柯西不等式一般形式求最值
1、设,若,则得最小值为 时,
析:
∴最小值为
此时
∴ ,,
２、设,,求得最小值,并求此时之值。
:
3、设,,求之最小值为 ,此时
(析:)
4、(２013年湖南卷(理))已知
则得最小值就是 ()
５、(２013年湖北卷(理))设,且满足:,,求得值;
6、求 得最大值与最小值。(:最大值为,最小值为 -)
析:令 = (2ｓinq,cosq,- cosq),= (1,ｓiｎf,coｓf)
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