立体几何大题练习(文科).docx

立体几何大题练习(文科):1.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD就是梯形,ABDC,ABC=90,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD底面ABCD.(1)求证:平面SBD平面SAD;(2)若SDA=120,且三棱锥SBCD得体积为,求侧面SAB得面积.【分析】(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理与余弦定理,可得AD,由线面垂直得判定定理可得BD平面SAD,运用面面垂直得判定定理即可得证;(2)运用面面垂直得性质定理,以及三棱锥得体积公式,求得BC=1,运用勾股定理与余弦定理,可得SA,SB,运用三角形得面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,ABDC,ABC=90,BC=CD=,设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,BCD=90,可得BD=a,CBD=45,ABD=45,由余弦定理可得AD=a,则BDAD,由面SAD底面ABCD.可得BD平面SAD,又BD平面SBD,可得平面SBD平面SAD;(2)解:SDA=120,且三棱锥SBCD得体积为,由AD=SD=a,在SAD中,可得SA=2SDsin60=a,SAD得边AD上得高SH=SDsin60=a,由SH平面BCD,可得aa2=,解得a=1,由BD平面SAD,可得BDSD,SB=2a,又AB=2a,在等腰三角形SBA中,边SA上得高为=a,则SAB得面积为SAa=a=.【点评】本题考查面面垂直得判定定理得运用,注意运用转化思想,考查三棱锥得体积公式得运用,以及推理能力与空间想象能力,属于中档题.2.如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.【分析】(1)利用ABEF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FGBC,则EGAC,利用线面垂直得性质定理可知FGAD,结合线面垂直得判定定理可知AD平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为ABAD,EFAD,且A、B、E、F四点共面,所以ABEF,又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FGBC,则EGAC,因为BCBD,FGBC,所以FGBD,又因为平面ABD平面BCD,所以FG平面ABD,所以FGAD,又因为ADEF,且EFFG=F,所以AD平面EFG,所以ADEG,故ADAC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直得判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直得性质及判定定理,注意解题方法得积累,属于中档题.3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,ACCB,点M与N分别就是B1C1与BC得中点.(1)求证:MB平面AC1N;(2)求证:ACMB.【分析】(1)证明MC1NB为平行四边形,所以C1NMB,即可证明MB平面AC1N;(2)证明AC平面BCC1B1,即可证明ACMB.【解答】证明:(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,因为点M,N分别就是B1C1,BC得中点,所以C1MBN,C1M=BN.所以MC1NB为平行四边形.所以C1NMB.因为C1N平面AC1N,MB平面AC1N,所以MB平面AC1N;(2)因为CC1底面ABC,所以ACCC1.因为ACBC,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.因为MB平面BCC1B1,所以ACMB.【点评】本题考查线面平行得判定,考查线面垂直得判定与性质,考查学生分析解决问题得能力,属于中档题.4.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD|BC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q为AD得中点,M为棱PC得中点.()证明:PA平面BMQ;()已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ得距离.【分析】(1)连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MNPA,利用线面平行得判定定理可证;(2)由(1)可知,PA平面BMQ,所以点P到平面BMQ得距离等于点A到平面BMQ得距离.【解答】解:(1)连结AC交BQ于N,连结MN,因为ADC=90,Q为AD得中点,所以N为AC得中点.(2分)当M为PC得中点,即PM=MC时,MN为PAC得中位线,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ.(5分)(2)由(1)可知,PA平面BMQ,所以点P到平面BMQ得距离等于点A到平面BMQ得距离,所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ,取CD得中点K,连结MK,所以MKPD,(7分)又PD底面ABCD,所以MK底面ABCD.又,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,(10分)所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=、,(11分)则点P到平面BMQ得距离d=(12分)【点评】本题考查了线面平行得判定定理得运用以及利用三棱锥得体积求点到直线得距离.5.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAC,D,E分别就是AB,AC得中点.(1)求证:B1C1平面A1DE;(2)求证:平面A1DE平面ACC1A1.【分析】(1)证明B1C1DE,即可证明B1C1平面A1DE;(2)证明DE平面ACC1A1,即可证明平面A1DE平面ACC1A1.【解答】证明:(1)因为D,E分别就是AB,AC得中点,所以DEBC,(2分)又因为在三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1BC,所以B1C1DE(4分)又B1C1平面A1DE,DE平面A1DE,所以B1C1平面A1DE(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,又DE底面ABC,所以CC1DE(8分)又BCAC,DEBC,所以DEAC,(10分)又CC1,AC平面ACC1A1,且CC1AC=C,所以DE平面ACC1A1(12分)又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1(14分)【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直得判定,考查学生分析解决问题得能力,属于中档题.6.在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,M,N分别就是PD,PA得中点,ACAD,ACD=ACB=60,PC=AC.(1)求证:PA平面CMN;(2)求证:AM平面PBC.【分析】(1)推导出MNAD,PCAD,ADAC,从而AD平面PAC,进而ADPA,MNPA,再由CNPA,能证明PA平面CMN.(2)取CD得中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQPC,从而MQ平面PBC,再求出AQ平面,从而平面AMQ平面PCB,由此能证明AM平面PBC.【解答】证明:(1)M,N分别为PD、PA得中点,MN为PAD得中位线,MNAD,PC底面ABCD,AD平面ABCD,PCAD,又ADAC,PCAC=C,AD平面PAC,ADPA,MNPA,又PC=AC,N为PA得中点,CNPA,MNCN=N,MN平面CMN,CM平面CMN,PA平面CMN.解(2)取CD得中点为Q,连结MQ、AQ,MQ就是PCD得中位线,MQPC,又PC平面PBC,MQ平面PBC,MQ平面PBC,ADAC,ACD=60,ADC=30.DAQ=ADC=30,QAC=ACQ=60,ACB=60,AQBC,AQ平面PBC,BC平面PBC,AQ平面PBC,MQAQ=Q,平面AMQ平面PCB,AM平面AMQ,AM平面PBC.【点评】本题考查线面垂直、线面平行得证明,考查空间中线线、线面、面面间得位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,就是中档题.7.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD就是边长为2得正方形,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD得中点.(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:面PAB平面PDC.【分析】(1)连接AC,则F就是AC得中点,E为PC 得中点,证明EFPA,利用直线与平面平行得判定定理证明EF平面PAD;(2)先证明CDPA,然后证明PAPD.利用直线与平面垂直得判定定理证明PA平面PCD,最后根据面面垂直得判定定理即可得到面PAB面PDC.【解答】证明:(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于BD得中点F,F也为AC中点,E为PC中点.所以在CPA中,EFPA,又PA平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD;(2)平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又,所以PA2+PD2=AD2所以PAD就是等腰直角三角形,且,即PAPD.因为CDPD=D,且CD、PD面PDC所以PA面PDC又PA面PAB,所以面PAB面PDC.【点评】本题考查直线与平面垂直得判定,直线与平面平行得判定得应用,考查逻辑推理能力.8.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,BD=2,E、F分别为AD、PC中点.(1)求点F到平面PAB得距离;(2)求证:平面PCE平面PBC.【分析】(1)取PB得中点G,连接FG、AG,证得底面ABCD为正方形.再由中位线定理可得FGAE且FG=AE,四边形AEFG就是平行四边形,则AGFE,运用线面平行得判定定理可得EF平面PAB,点F与点E到平面PAB得距离相等,运用线面垂直得判定与性质,证得AD平面PAB,即可得到所求距离;(2)运用线面垂直得判定与性质,证得BC平面PAB,EF平面PBC,再由面面垂直得判定定理,即可得证.【解答】(1)解:如图,取PB得中点G,连接FG、AG,因为底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,所以底面ABCD为正方形.E、F分别为AD、PC中点,FGBC,AEBC,FGAE且FG=AE,四边形AEFG就是平行四边形,AGFE,AG平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB,点F与点E到平面PAB得距离相等,由PA平面ABCD,可得PAAD,又ADAB,PAAB=A,AD平面PAB,则点F到平面PAB得距离为EA=1.(2)证明:由(1)知AGPB,AGEF,PA平面ABCD,BCPA,BCAB,ABBC=B,BC平面PAB,由AG平面PAB,BCAG,又PBBC=B,AG平面PBC,EF平面PBC,EF平面PCE,平面PCE平面PBC.【点评】本题考查空间点到平面得距离,注意运用转化思想,考查线面平行与垂直得判定与性质,以及面面垂直得判定,熟练掌握定理得条件与结论就是解题得关键,属于中档题.9.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,BAD=ADC=90,DC=2AB=2AD,BCPD,E,F分别就是PB,BC得中点.求证:(1)PC平面DEF; (2)平面PBC平面PBD.【分析】(1)由中位线定理可得PCEF,故而PC平面DEF;(2)由直角梯形可得BCBD,结合BCPD得出BC平面PBD,于就是平面PBC平面PBD.【解答】证明:(1)E,F分别就是PB,BC得中点,PCEF,又PC平面DEF,EF平面DEF,PC平面DEF.(2)取CD得中点M,连结BM,则ABDM,又ADAB,AB=AD,四边形ABMD就是正方形,BMCD,BM=CM=DM=1,BD=,BC=,BD2+BC2=CD2,BCBD,又BCPD,BDPD=D,BC平面PBD,又BC平面PBC,平面PBC平面PBD.【点评】本题考查了线面平行,面面垂直得判定,属于中档题.10.如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别为BC,CD上得点,且BD平面AEF.(1)求证:EF平ABD面;(2)若AE平面BCD,BDCD,求证:平面AEF平面ACD.【分析】(1)利用线面平行得性质可得BDEF,从而得出EF平面ABD;(2)由AE平面BCD可得AECD,由BDCD,BDEF可得EFCD,从而有CD平面AEF,故而平面AEF平面ACD.【解答】证明:(1)BD平面AEF,BD平面BCD,平面BCD平面AEF=EF,BDEF,又BD平面ABD,EF平面ABD,EF平ABD面.(2)AE平面BCD,CD平面BCD,AECD,由(1)可知BDEF,又BDCD,EFCD,又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,CD平面AEF,又CD平面ACD,平面AEF平面ACD.【点评】本题考查了线面平行、线面垂直得性质,面面垂直得判定,属于中档题.