1、实数 【无理数】 1. 定义:无限不循环小数小数叫做无理数;注:它必要满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常用无理数几种类型: (1)特殊意义数,如:圆周率以及具有某些数,如:2-,3等; (2)特殊构造数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。 (3)无理数与有理数和差成果都是无理数。如:2-是无理数 (4)无理数乘或除以一种不 为0有理数成果是无理数。如2, (5)开方开不尽数,如:等;应当要注意是:带根号数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:) 3.有理数与无理数区别: (1)有理数
2、指是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数; (2)所有有理数都能写成分数形式(整数可以当作是分母为1分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3……(相邻两个3之间0个数逐次增长2)、其中是有理数有____;是无理数有___。(填序号) (2)有五个数:0.125125…,0.…,-,,其中无理数有 ( )个 【算术平方根】: 1. 定义:如果一种正数x平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a算术平方根,记为:“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。例如32=9,那么9算术平方根
3、是3,即。 特别规地,0算术平方根是0,即,负数没有算术平方根 2.算术平方根具备双重非负性:(1)若 故意义,则被开方数a是非负数。(2)算术平方根自身是非负数。 3.算术平方根与平方根关系:算术平方根是平方根中正一种值,它与它相反数共同构成了平方根。因而,算术平方根只有一种值,并且是非负数,它只表达为:;而平方根具备两个互为相反数值,表达为:。 例:(1)下列说法对的是 ( ) A.1立方根是; B.;(C)、平方根是; ( D)、0没有平方根; (2)下列各式对的是( ) A、 B、 C、 D、 (3)算
4、术平方根是 。(4)若故意义,则___________。 (5)已知△ABC三边分别是且满足,求c取值范畴。 (6)(提高题)如果x、y分别是4-整数某些和小数某些。求x - y值. 平方根: 1.定义:如果一种数x平方等于a,即,那么这个数x就叫做a平方根;,咱们称x是a平方(也叫二次方根),记做: 2.性质:(1)一种正数有两个平方根,且它们互为相反数; (2)0只有一种平方根,它是0自身; (3)负数没有平方根 例(1)若平方根是±2,则x= ;平方根是 (2)当x 时,故意义。 (3)一种正数平方根分别是m和m-4,
5、则m值是多少?这个正数是多少? 3. (1)(2)中,a可以取任意实数。如 例:1.求下列各式值 (1) (2) (3) 2.已知,那么a取值范畴是 。3.已知2<x<3,化简 。 【立方根】 1.定义:普通地,如果以个数x立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a立方根(也叫做三次方根)记为,读作,3次根号a。如23=8,则2是8立方根,0立方根是0。 2.性质:正数立方根正数;0立方根是0;负数立方根是负数。立方根是它自身数有0,1,-1. 例:(1)64立方根是
6、 (2)若,则b等于 (3)下列说法中:①都是27立方根,②,③立方根是2,④。 其中对的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 比较两个数大小: 办法一:估算法。如3<<4 办法二:作差法。如a>b则a-b>0. 办法三:乘办法.如比较大小。 例:比较下列两数大小 (1) (2) 【实数】 定义:(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大实数,也没有最小实数;绝对值
7、最小实数是0,最大负整数是-1。 (2)实数也可以分为正实数、0负实数。 实数性质:实数a相反数是-a;实数a倒数是(a≠0);实数a绝对值|a|=,它几何意义是:在数轴上点到原点距离。 实数大小比较法则:实数大小比较法则跟有理数大小比较法则相似:即正数不不大于0,0不不大于负数;正数不不大于负数;两个正数,绝对值大就大,两个负数,绝对值大反而小。(在数轴上,右边数总是不不大于左边数)。对于某些带根号无理数,咱们可以通过比较它们平方或者立方大小。 实数运算:在实数范畴内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数同样 实数与数轴关系:每个实数与数轴上点是一
8、一相应 (1)每个实数可以以用数轴上一种点来表达。 (2)数轴上每个点都表达已个实数。 例:(1)下列说法对的是( ); A、任何有理数均可用分数形式表达 ; B、数轴上点与有理数一一相应 ; C、1和2之间无理数只有 ; D、不带根号数都是有理数。 (2)a,b在数轴上位置如图所示,则下列各式故意义是( ) b 0 a A、 B、 C、 D、 (3)比较大小(填“>”或“<”). 3 , , , , (4)数 大小关系是 ( )
9、A. B. C. D. (5)将下列各数:,用“<”连接起来;______________________________________。 (6)若,且,则:= 。 【二次根式】 定义:形如式子叫做二次根式,a叫做被开方数 注意:(1)从形式上看二次根式必要有二次根号“”,如是二次根式,而=3,3显然就不是二次根式。 (2)被开方数a可以是数,也可以是代数式。若a是数,则这个数必要是非负数;若a是代数式,则这个代数式取值必要是非负数,否则没故意义。 例:下列根式与否为二次根式 (1) (2) (3)
10、4) 二次根式性质: 性质1: 积算术平方根等于积中各因式算术平方根积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简。 性质2: 商算术平方根等于被除数算术平方根除以除数算术平方根。 最简二次根式:被开方数中不含分母,也不含能开得尽方因数或因式,这样二次根式,叫做最简二次根式。 例:1.化简: (1) (2) (3) 2.计算: 3.已知:,求代数式值。 4.(提高题)观测下列等式:回答问题: ① ② ③,…… (1)依照上面三个等式信息,请猜想成果; (2)请按照上式反映规律,试写出用n表达等式,并加以验证。
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