2021年实数知识点及对应练习.docx

实数
【无理数】
1. 定义：无限不循环小数小数叫做无理数；注：它必要满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常用无理数几种类型：
（1）特殊意义数，如：圆周率以及具有某些数，如：2-，3等；
（2）特殊构造数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数和差成果都是无理数。如：2-是无理数
（4）无理数乘或除以一种不 为0有理数成果是无理数。如2,
（5）开方开不尽数，如:等；应当要注意是：带根号数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：）
3.有理数与无理数区别：
（1）有理数指是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有有理数都能写成分数形式（整数可以当作是分母为1分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3……（相邻两个3之间0个数逐次增长2）、其中是有理数有＿＿＿＿；是无理数有＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.…,-,,其中无理数有 ( )个
【算术平方根】：
1. 定义：如果一种正数x平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9算术平方根是3，即。
特别规地，0算术平方根是0，即，负数没有算术平方根
2.算术平方根具备双重非负性：（1）若 故意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根自身是非负数。
3.算术平方根与平方根关系：算术平方根是平方根中正一种值，它与它相反数共同构成了平方根。因而，算术平方根只有一种值，并且是非负数，它只表达为：；而平方根具备两个互为相反数值，表达为：。

例：（1）下列说法对的是 （ ）
A．1立方根是； B．；（C）、平方根是； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式对的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3）算术平方根是 。（4）若故意义，则___________。
（5）已知△ABC三边分别是且满足，求c取值范畴。

（6）（提高题）如果x、y分别是4－整数某些和小数某些。求x － y值.

平方根：
1.定义：如果一种数x平方等于a，即，那么这个数x就叫做a平方根；，咱们称x是a平方（也叫二次方根），记做：
2.性质：（1）一种正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2）0只有一种平方根，它是0自身； （3）负数没有平方根
例（1）若平方根是±2，则x= 　 ；平方根是 （2）当x 时，故意义。
（3）一种正数平方根分别是m和m-4，则m值是多少？这个正数是多少？
3.
（1）（2）中，a可以取任意实数。如

例：1.求下列各式值
（1） （2） （3）
2.已知，那么a取值范畴是 　。3.已知2＜x＜3,化简 　。
【立方根】
1.定义：普通地，如果以个数x立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8立方根，0立方根是0。
2.性质：正数立方根正数；0立方根是0；负数立方根是负数。立方根是它自身数有0,1，-1.
例：（1）64立方根是           （2）若，则b等于           
（3）下列说法中：①都是27立方根，②，③立方根是2，④。
其中对的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
比较两个数大小：
办法一：估算法。如3＜＜4 办法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.
办法三：乘办法.如比较大小。
例：比较下列两数大小
（1） （2）

【实数】
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大实数，也没有最小实数；绝对值最小实数是0，最大负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数性质：实数a相反数是-a；实数a倒数是（a≠0）；实数a绝对值|a|=，它几何意义是：在数轴上点到原点距离。
实数大小比较法则：实数大小比较法则跟有理数大小比较法则相似：即正数不不大于0，0不不大于负数；正数不不大于负数；两个正数，绝对值大就大，两个负数，绝对值大反而小。（在数轴上，右边数总是不不大于左边数）。对于某些带根号无理数，咱们可以通过比较它们平方或者立方大小。
实数运算：在实数范畴内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数同样
实数与数轴关系：每个实数与数轴上点是一一相应
（1）每个实数可以以用数轴上一种点来表达。
（2）数轴上每个点都表达已个实数。

例：（1）下列说法对的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表达 ； B、数轴上点与有理数一一相应 ；
C、1和2之间无理数只有 ； D、不带根号数都是有理数。
（2）a，b在数轴上位置如图所示，则下列各式故意义是( )
b
0
a

A、 B、 C、 D、
（3）比较大小(填“>”或“<”).
3 ， ， ， ，
（4）数 大小关系是 ( )
A. B. C. D.
（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若，且，则：= 。
【二次根式】
定义：形如式子叫做二次根式，a叫做被开方数
注意：（1）从形式上看二次根式必要有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必要是非负数；若a是代数式，则这个代数式取值必要是非负数，否则没故意义。
例：下列根式与否为二次根式
（1） （2） （3） 4）
二次根式性质：
性质1： 积算术平方根等于积中各因式算术平方根积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2： 商算术平方根等于被除数算术平方根除以除数算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方因数或因式，这样二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：
（1） （2） （3）
2.计算：

3.已知：，求代数式值。

4.（提高题）观测下列等式：回答问题：
① ②

③，……
（1）依照上面三个等式信息，请猜想成果；
（2）请按照上式反映规律，试写出用n表达等式，并加以验证。