小波变换2.pptx

第第4章章图像像变换n4.4小波小波变换2024/9/8 周日22024/9/8 周日变换什么意思呢？是一种映射。变换什么意思呢？是一种映射。在线性代数里，基（在线性代数里，基（basis）是指空间里一系列线性独立的）是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些向量的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些向量的线性组合来表示。线性组合来表示。basis在变换里面啥用呢？在变换里面啥用呢？举例：傅立叶展开的本质，就是把一个信号用三角波的线性举例：傅立叶展开的本质，就是把一个信号用三角波的线性组合表示出来。组合表示出来。小波变换与傅里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。小波变换与傅里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。什么是变换？什么是变换？32024/9/8 周日为什么要变换为什么要变换为了满足不同的应用目的。为了满足不同的应用目的。如：要分析信号的频谱图如：要分析信号的频谱图傅里叶变换。傅里叶变换。要对信号进行压缩要对信号进行压缩希望这个基函数能用最希望这个基函数能用最 少的向量来最大程度地表示信号。少的向量来最大程度地表示信号。42024/9/8 周日三角函数与小波函数的比较三角函数与小波函数的比较无穷大的能量在整个无穷大的区间振荡能量是有限的，而且集中在某一点附近 5小波小波变换的本的本质l精心挑精心挑选的的basis来表示信号方程。来表示信号方程。l每个小波每个小波变换都会有一个都会有一个motherwavelet，我我们称之称之为母小波，同母小波，同时还有一个有一个scalingfunction，中文是尺度函数，也被成，中文是尺度函数，也被成为父小波。父小波。l任何小波任何小波变换的的basis函数，其函数，其实就是就是对这个个母小波和父小波母小波和父小波缩放和平移后的集合。放和平移后的集合。6某种小波的示意某种小波的示意图：从这里看出，这里从这里看出，这里的缩放倍数都是的缩放倍数都是2的级数，平移的大的级数，平移的大小和当前其缩放的小和当前其缩放的程度有关。这样的程度有关。这样的好处是，小波的好处是，小波的basis函数既有高函数既有高频又有低频，同时频又有低频，同时还覆盖了时域。还覆盖了时域。7小波小波变换与傅里叶与傅里叶变换区区别举例例所有的傅立叶所有的傅立叶级数都数都为非非0了！因了！因为傅立傅立叶必叶必须用三角波来展用三角波来展开信号，开信号，对于于这种种变换突然而突然而剧烈的信号烈的信号来来讲，即使只有一小，即使只有一小段段变换，傅立叶也不，傅立叶也不得不用大量的三角波得不用大量的三角波去去拟合。合。用傅里叶变换用傅里叶变换表示较简单只表示较简单只需一个系数需一个系数a08用三角信号模拟方波用三角信号模拟方波(吉布斯现象吉布斯现象)通俗一点解释，就是当变化太剧烈的时候，三角波拟合不过来了，就凑合出Gibbs了 9用小波用小波拟合合只要小波只要小波basis不和不和这个信号变化重叠，这个信号变化重叠，它所对应的级数系它所对应的级数系数都为数都为0！也就是说，！也就是说，假如我们就用这个假如我们就用这个三级小波对此信号三级小波对此信号展开，那么只有展开，那么只有3个个级数系数不为级数系数不为0。任何小波和常量函数的内积都趋近于任何小波和常量函数的内积都趋近于0。10小波小波变换的定的定义l其中其中是母小波，是母小波，是父小波（是父小波（为多分辨多分辨率分析）。率分析）。l需要提醒一点的是，需要提醒一点的是，这个正交个正交纯粹是粹是为了小波了小波分析的方便而引入的特性，并不是分析的方便而引入的特性并不是说小波小波变换的基就一定必的基就一定必须是正交的。是正交的。11母小波母小波举例例l假设我们有这样一个信号：该信号长度为该信号长度为8，是离散的一维信号。，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：哈尔小波。下面是它的一种母小波：12那如何构建基于这个母小波的基呢？那如何构建基于这个母小波的基呢？要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是(2n)：13但这样的话，它与自己的内积就不是但这样的话，它与自己的内积就不是1了，了，不符合小波基不符合小波基orthonormal的要求，所以我们的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的到了另一个哈尔小波的basis function：14同理，我们可以一直这样推广下去做同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到得到4n，8n，.下的下的basis function。当然。当然在这个例子里，我们信号长度就是在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做，所以做到到4n就够了。但推广来说，就是这种就够了。但推广来说，就是这种scaling对对母小波的作用为母小波的作用为这是归一化后的表示形式。这是归一化后的表示形式。15平移母小波得到的小波基平移母小波得到的小波基16正交小波基的表示正交小波基的表示17这样，我们就有了针对此信号空间的哈尔小波这样，我们就有了针对此信号空间的哈尔小波basis组合：组合：可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。的表达形式都写在了波形的下面。18尺度函数（尺度函数（scalingfunction）父函数用父函数用 表示表示19Lebesgue空空间在数学定在数学定义中，有一种空中，有一种空间叫叫Lebesgue空空间，对于信号于信号处理非常重要，可以用理非常重要，可以用Lp(R)表示，表示，指的是由指的是由p次可次可积函数所函数所组成的函数空成的函数空间。我。我们在小波在小波变换中要研究的信号都是属于中要研究的信号都是属于L2(R)空空间的，的，这个空个空间是是R上的所有上的所有处处平方可平方可积的可的可测函数的集合，函数的集合，这样就等于就等于对信号提出了信号提出了一个限制，就是信号能量必一个限制，就是信号能量必须是有限的，否是有限的，否则它就不可它就不可积了。了。20l在在L2(R)空空间中，我中，我们可以找出一个嵌套的空可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性序列，并有下列性质：l(i)l(ii)l(iii)l(iv)2122第二点注意：是所有的子集相交第二点注意：是所有的子集相交为空集。空集。假如有一个函数假如有一个函数f(t)他属于一个某空他属于一个某空间，那你，那你将其在将其在时域上平移，它域上平移，它还是属于是属于这个空个空间。但。但如果你如果你对它它频域的放大或域的放大或缩小，它就会相小，它就会相应移移到下一个或者上一个空到下一个或者上一个空间了。了。23l通通过刚才的才的讲解，解，V0属于属于V1，那，那scalingfunction是在是在V0中的，自然也在中的，自然也在V1中了。我中了。我们把他写成把他写成V1的基的的基的线性性组合，那就是合，那就是ll其中的其中的h(n)是是scalingfunction的系数，也叫做的系数，也叫做scalingfilter或者或者scalingvector，可以是，可以是实数，也可以是虚数。数，也可以是虚数。根号根号2是是为了了维持持归一化。一化。l同理，我同理，我们可以循可以循环如此，把属于如此，把属于V0的在的在V2,V3,Vn中表示出来。中表示出来。这些方程就是些方程就是MRAequation，也叫，也叫refinementequation，它是，它是scalingfunction理理论的基的基础，也是小波分析的基也是小波分析的基础之一。之一。什么是多分辨率分析方程什么是多分辨率分析方程24scaling function或者频率变换之后的或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：如下图所示：25l上上图就是四个子空就是四个子空间的的basis集合的展集合的展览。通。通过前面的前面的讨论，我，我们还知道，一开始的知道，一开始的scalingfunction可以通可以通过更精更精细的子空的子空间的的scalingfunction（它（它们都是都是对应子空子空间的的basis）来构建。比如）来构建。比如26更加精更加精细的的scale：27在不同的子空在不同的子空间，对同一信号的同一信号的诠释28尺度函数和小波函数的尺度函数和小波函数的结合合对于子空间对于子空间V0，basis是是scaling function：对应的小波函数是：29子空间子空间V1的的basis集合是：集合是：多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的中的scaling function和和wavelet function的组合，其实就是的组合，其实就是V1中的中的basis！然后然后V1中对应的中对应的wavelet function是是30l结论：在：在scalej的的waveletfunction，可以被，可以被用来将用来将Vj的的basis扩展到展到V(j+1)中去！中去这是一是一个非常非常关个非常非常关键的性的性质，因，因为这代表着，代表着，对任任何一个子空何一个子空间Vj，我，我们现在有两种方法去得到在有两种方法去得到它的它的orthonormalbasis：l1.一种就是它本来的一种就是它本来的basis，对任意任意k。l2.第二种就是它上一个子空第二种就是它上一个子空间的基的基，对任意任意k，以及上一，以及上一级子空子空间的的waveletfunction，对任意任意k。31l第二种第二种选择能能给我我们带来来额外的好外的好处，那就是，那就是我我们可以循可以循环不断地用上一不断地用上一级子空子空间的的scalingfunction以及以及waveletfunction的的组合来作合来作为当前子空当前子空间的基。的基。换句句话说，如果，如果针对V3这个子空个子空间，它，它实际上就有四种不同的，上就有四种不同的，但是等价的但是等价的orthonormalbasis：321.本本级(V3)的的scalingfunctionbasisset332.上一级(V2)的scaling function+wavelet function;343.上上一上上一级(V1)的的scalingfunction+上上一上上一级(V1)的的waveletfunction+上一上一级(V2)的的waveletfunction;354.上上上一级(V0)的scaling function+上上上一级(V0)的wavelet function+上上一级(V1)的wavelet function+上一级(V2)的wavelet function