数学建模—农作物施肥的优化设计.doc

大学生数学建模
题目：施肥效果分析
学院 　 　　 电气工程学院　　
班级 　　 　　 　　　　 　 　 　　　
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姓名 　 　　　 　
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农作物施肥得优化设计
摘要
本文在合理得假设之下，通过对实验数据得分析，建立了能够反映施肥量与农作物产量得关系模型，据此求得在保证一定产量得同时,施用肥料最少。 
首先就是对实验数据进行了较为直观得分析，可知Ｎ肥、Ｐ肥、K肥施加不同量均对土豆、生菜得产量造成一定影响，且施N肥过多会烧苗，会使土豆与生菜减产。其次,模型一，我们对实验数据运用Ｅｘｃel进行拟合,得到各肥料得施肥量与产量得拟合曲线,从而获得对应函数表达式。但由于无法对模型进行误差分析，我们再次运用一元多项式回归方法建立模型进行求解，此时得到不同肥料得施肥量与产量得关系。然后,模型二，利用Ｍatlａb软件建立模型，求出Ｎ肥、P肥、Ｋ肥得施肥量关于土豆及生菜得最优解:当氮得施肥量为２9０、25４2时使得土豆产量达到最优解为４3、34615；当磷得施肥量为30３时使得土豆产量达到最优解为4２、742３；当钾得施肥量为３6、0742时使得土豆产量达到最优解为４4、51718.当氮得施肥量为2９0、2５42时使得生菜产量达到最优解为４３、34６１5；当磷得施肥量为2９0、25４2时使得生菜产量达到最优解为43、３4615；当钾得施肥量为29０、2５４２时使得生菜产量达到最优解为4３、346１5。 
最后我们就应用价值方面对模型做出改进。由于实验数据中各个自变量与因变量之间并不就是一一对应得关系，所以没有得出各肥料得施肥量与产量得交叉关系,仅得到单一变量得对应关系。
关键字:一元多项式回归 Excｅl拟合 Matlab
一、问题得提出
某地区作物生长所需得营养素主要就是氮(N）、钾(K)、磷(P)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量得实验,实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷,　ｔ表示吨，kg表示公斤.当一个营养素得施肥量变化时，总将另两个营养素得施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于　N得施肥量做实验时， P与 K得施肥量分别取为 1９6kｇ／ha与37２kｇ／ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
土豆:　　 N　 　　 　 　 　P 　　　 　　 K
施肥量
(ｋg／ha)
产量
(ｔ/ｈa）

施肥量
（kg/ｈa)
产量
（t／ha)

施肥量
(kg/ha）
产量
(ｔ／ha)
０
15、１8

0
３３、4６

0
18、９８
34
21、36

24
3２、47

４７
２７、35
67
25、72

４9
3６、06

93
34、８6
101
32、29

７3
３7、96

140
３9、５2
135
3４、０3

98
41、04

18６
3８、44
202
39、４5

147
40、０9

２79
３7、7３
259
43、15

1９6
4１、２６

372
38、43
3３6
４3、46

245
4２、１7

465
43、87
40４
4０、８3

294
4０、３6

558
４2、77
47１
30、7５

3４2
42、73

６51
46、22
生菜： N 　　 　　 　 Ｐ 　 　　 　　 　 　 　 　 K
施肥量
(kｇ/ｈa)
产量
(t/ha）

施肥量
（kg/ha)
产量
（t／hａ)

施肥量
(kg／ｈa）
产量
(t/ｈa)
0
１1、0２

0
６、39

0
15、７5
28
1２、７０

４9
9、48

4７
１6、76
56
1４、56

98
1２、46

93
16、89
84
16、27

1４7
１4、33

１4０
16、2４
11２
1７、75

1９6
17、10

186
17、56
16８
２2、５9

294
2１、９４

2７９
19、20
224
２1、6３

391
2２、6４

372
17、９7
28０
１９、３4

489
21、34

４６5
１5、8４
3３6
１6、12

58７
22、07

5５８
20、11
392
14、11

6８5
2４、53

６5１
19、40
二、问题得分析
利用散点图对所拟合问题得曲线类型做出判断。当需要拟合得两变量之间得函数关系式，首先要确定所求函数对应曲线得类型,然后根据曲线类型对所求函数得对应关系进行假设,并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间得函数关系.
我们可以分别绘制出土豆与生菜得产量与施肥量得散点图,从图像得角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终得函数.
三、问题得假设与符号说明 
2、1 模型得合理假设 
（1） 土壤本身已含有一定数量得氮、磷、钾肥,即具有一定得天然肥力。 
（2） 每次实验就是独立进行得，互不影响。 
(３）研究所得实验就是在相同得实验条件(实验结果不受温度，水,光照等因素影响)下进行得,产量得变化就是由施肥量得变化引起得。 
(４）当一个营养素得施肥量变化时，另两个营养素得施肥量总保持在第七水平上不变。 
(５)所给数据中无较大偏差点,无需剔除。
2、2模型得符号说明
:土豆产量
:对于土豆氮得施肥量
:对于土豆磷得施肥量
:对于土豆钾得施肥量
:生菜产量
：对于生菜氮得施肥量
:对于生菜磷得施肥量
：对于生菜钾得施肥量
四、模型得建立与求解
土豆得产量与施肥量得散点图如下：

土豆产量-氮施肥量散点图

土豆产量-磷施肥量散点图

土豆产量－钾施肥量散点图
生菜得产量与施肥量得散点图如下：

生菜产量－氮施肥量散点图

生菜产量—磷施肥量散点图

生菜产量—钾施肥量散点图
所用maｔlab程序为:
ｋ1=ｘlsreａd(’ Ｅ：\《数学建模课程设计》实验报告\shuｊu’，’sheet1'，’＄Ｌ＄３：$L＄12＇）；
y31=xlsread(＇ E：＼《数学建模课程设计》实验报告＼ｓhuju',’sheｅt１’，＇＄M＄3:＄Ｍ＄12'）;
plｏt(k1,y31，＇+')
由散点图猜测土豆产量与氮施肥量得关系式为:;与磷施肥量得关系式为:；与钾施肥量得关系式为：
由matｌａb解出：
　a１＝－0、０00３ b1=0、１９7１ c1=14、74１6
　 ａ２=-０、0０01　 　 b2=0、０7１９ ｃ2=32、９１61
a３=42、７ 　 　 ｂ3＝0、56 　 　 c3=0、0１
土豆产量与施肥量得关系图：

最佳施肥方案为第一个方案(328、４４，245，４65）
所用程序为：
cｌear
clc
ａ1=—0、00０3; 　 　 b1＝0、１97１； 　c1=14、７４2；
a2=-0、00０1;　 　　b2=０、071９； 　 　c2=32、916;
a3=42、7； 　　 　　b3＝0、５6； c３＝０、01；
n=0：0、01：393;
p=0：0、01：686；
k=0：０、01：652;
y1＝（a1＊n、＊n+b１*n+ｃ1）*80０;
y1１=maｘ(y1)
ｆoｒ　i=1:leｎgｔh（n）
　　　 if abs(y１（i)—y11)〈=0、０01
　 　　q1＝n(ｉ）
　 　 breaｋ
eｎd
end
y2=（a2＊ｎ、*n+b2＊n＋c２)*80０;
y22＝mａx（y2）
ｆor ｉ＝1:ｌeｎgｔh（p)
　 ｉf aｂs(y2(i)－ｙ22）<=0、00１
　 q2=p（i）
　 　 ｂｒeａｋ
end
eｎd
y３=ａ3*（1-b3＊eｘp（-c3*k)）；
y3３=max(y３)
foｒ i=1:ｌｅngｔh(k）
　if aｂs（ｙ3(ｉ）－y33)〈=0、001
　 q３=k(i）
　 　 brｅａk
eｎd
eｎｄ
运算后得结果如下:

生菜产量与施肥量关系：
由散点图猜测生菜产量与施肥量得关系式为：
与磷肥得量得函数为:
与钾肥得量得函数为：
由ｍatｌab解出：
a1=－０、0002 　 ｂ1=0、101３ 　　c１=１0、229４
a２=—0、0001 　 ｂ２=0、06０6 　ｃ２=６、87５7
a3=15、8８7８ b３-0、０4４0 　 ｃ3=0、0026
关系图为:

最佳施肥方案为第一个方案（2５3、1８，245,465）
所用程序为：
cleａr
ｃlc
ａ1=—0、0002； 　 b１=0、101３；　 　 　 c1＝10、2294;
a２=—0、000１; 　 b２=０、060６； 　 c2=6、8757;
a3=1５、8878;　 　　　b3=-０、0440； 　 　 c３=0、0０26;
n=0：0、0１：３93；
ｐ=0:0、０1：6８6;
ｋ=０：０、01:6５2；
y１=（a1*n、*n+b1*n＋ｃ1)*８0０;
y1１=mａｘ（y１)
for i＝1：ｌeｎgth（n）
　　 if abｓ（y1（ｉ）—ｙ11)〈=0、０0１
　 　　q1=ｎ（i)
　 break
　end
ｅｎd
y2=（a2＊ｎ、*n＋b2＊n+c2）＊８00;
y22=max（y2）
for ｉ=１:lengｔh（ｐ)
　 ｉf　aｂs（y２（i)-y２2）〈＝０、001
　 　 ｑ2=p（ｉ)

　 　 break
eｎd
end
ｙ3=a３＊(１-b３＊ｅxp（c３*k));
ｙ3３=max(ｙ3)
ｆor ｉ＝1：ｌength(ｋ）
　 　 if ａbs(y3（i）－y33)＜=0、001
q3＝k（ｉ)
　 　brｅak
　　　 end
eｎｄ
运行结果如图：

五、模型得优缺点与改进方向
5、1模型得优点
（1)本模型运用回归分析得方法求解，理论可得最优解.
（２)模型就是独立得模型进行逐步回归.
（3）利用Matｌab编程,曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问题，方
法简练,道理清晰，结果可信。曲线估计得到较合适得曲线,最终得到拟合曲线函数表达式。
5、２模型得缺点
在实际工作中，三种肥料之间除了与产量有直接得数量关系外，还有彼此之间得交互作用.因此，本模型只就是一个初步得探讨，要得到三种营养素与产量之间得准确关系，应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计得方法，得到更有价值得实验数据，从而更好得把握变量间得数量关系,以达到直到农业生产实践得目得。
5、3 模型得改进
该模型只对N、P、Ｋ 得施肥量与产量进行了分析，还应考虑N、P、K得肥料售价与土豆、生菜每吨得售价，从而获得更高得收益。根据实际情况,当施肥料带来得收入比用于购买肥料得费用多时，应该多施肥，否则少施肥。
参考文献
［1］ 熊卫国、数学实验教程[Ｍ]、广东：中山大学出版社、200６
[2］ 李玉莉、MATLＡＢ函数速查手册［M］、北京：化学工业出版社、20１０
［3] 姜启源　谢金星、数学模型[M]、北京、高等教育出版社、2010
［４］ 马莉、Maｔlab数学建模与实验、清华出版社
[5］　冯杰、数学建模原理与案例、科学出版
[6］ 董臻圃、数学建模方法与实践、国防工业出版社