工学空间曲线平面.pptx

一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 第七章第七章空间解析几何空间解析几何暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例如例如,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C.C又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲C将曲线将曲线 C 上的动点坐标上的动点坐标 x,y,z 表示成参数表示成参数 t 的函数的函数:二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程称它为空间曲线的称它为空间曲线的参数方程参数方程.例如例如,圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度,称为称为螺距螺距.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例1.将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为将第二方程变形为故所求方程为故所求方程为得所求方程为得所求方程为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数 ,形如形如暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程C例如例如,在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲又如又如,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为:上半球面上半球面和锥面和锥面在在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线二者交线二者交线所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例3.试求曲线试求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为面的交线为面的交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为,它与所给平它与所给平暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 第七章第七章空间解析几何空间解析几何暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向且垂直于非零向称称式式为平面为平面 的的点法式方程点法式方程,求该平面求该平面 的的方程方程.法向量法向量.量量则有则有 故故暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲因为因为所以所以自算自算例例1.1.求过三点求过三点即即解解:取该平面取该平面 的法向量为的法向量为的平面的平面 的方程的方程.利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲此平面的此平面的三点式方程三点式方程也可写成也可写成 一般情况一般情况:过三点过三点的平面方程为的平面方程为说明说明:暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程.时时,平面方程为平面方程为 利用三点式利用三点式 按第一行展开得按第一行展开得 即即暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例2.求过点求过点 且垂直于且垂直于二二平面平面 和和 的平面方程的平面方程.解解:已知二平面的法向量为已知二平面的法向量为取所求平面的法向量取所求平面的法向量 则所求平面方程为则所求平面方程为化简得化简得暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲自算自算 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减,得平面的点法式方程得平面的点法式方程此方程称为此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价,的平面的平面,因此方程因此方程的图形是的图形是法向量为法向量为 方程方程.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲特殊情形特殊情形 当当 D=0 时时,A x+B y+C z=0 表示表示 通过原点通过原点的平面的平面;当当 A=0 时时,B y+C z+D=0 的法向量的法向量平面平面平行于平行于 x 轴轴;A x+C z+D=0 表示表示 A x+B y+D=0 表示表示 C z+D=0 表示表示 A x+D=0 表示表示 B y+D=0 表示表示平行于平行于 y 轴轴的平面的平面;平行于平行于 z 轴轴的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面的平面的平面.例例3.求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,3,1)的平面方程的平面方程.解解:因平面通过因平面通过 x 轴轴,设所求平面方程为设所求平面方程为代入已知点代入已知点可得可得化简可得所求平面方程化简可得所求平面方程暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的余弦为的余弦为即即两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.特别有下列结论：特别有下列结论：因此有因此有例例4.一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面:x+y+z=0,求其方程求其方程.解解:设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即即的法向量的法向量约去约去C,得得即即和和则所求平面则所求平面故故方程为方程为 且且暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例4.一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面:x+y+z=0,求其方程求其方程.设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即即和和则所求则所求且且暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲解法解法2:所以所以故所求平面方程为故所求平面方程为因为因为的法向量的法向量 m,平面方程平面方程外一点外一点,求求例例5.设设解解:设平面法向量为设平面法向量为在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d.,则则P0 到平面的距离为到平面的距离为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲内容小结内容小结 空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或参数方程或参数方程 求投影曲线求投影曲线暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例如消去例如消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:d点点到平面到平面的距离的距离暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲 作作 业业 P324 2;3;4;5;6;8*P329 2;5;6;7;8(2);9 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲下次课内容下次课内容第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 例例1*求空间曲线求空间曲线 :绕绕 z 轴旋转轴旋转时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程.解解:点点 M1绕绕 z 轴旋转轴旋转,转过角度转过角度 后到点后到点 则则这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例如例如,直线直线绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为轴旋转所得旋转曲面方程为 消去消去 t 和和 ,得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面(即球面即球面)方程为方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周面上的半圆周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数,形如形如暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例2*解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲P324 题1 (2)(1)答案答案:暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲(3)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲P324 题2(1)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲思考思考:交线情况如何?交线情况如何?P324 题2(2)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲P325 题 7暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲