1、11.311.3.1 正项级数及其收敛性判别法正项级数及其收敛性判别法常数项级数的收敛性判别法则常数项级数的收敛性判别法则 第十一章 11.3.2 交错级数及其收敛性判别定理交错级数及其收敛性判别定理11.3.3 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛11.3.1 正项级数及其正项级数及其收敛性判别法收敛性判别法若定理定理 11.4.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”故有 界.都有定理定理11.5(比较判别法比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛,也收敛;发
2、散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.2)若机动 目录 上页 下页 返回 结束 后一为几何级数,公比为该级数收敛.调和级数与 p
3、 级数是两个常用的比较级数.调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.若存在若存在对一切对一切证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理11.6.比值判别法比值
4、判别法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.例例5.判别下列级数的敛散性.解解:(1)根据定理4可知:级数收敛;级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)根据定理4可知:例例6.讨论级数讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设设 为正项级为正项级则则数数,且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.说明
5、说明:例例7.讨论级数的敛散性.解解:故原级数收敛。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.讨论级数的敛散性.解解:故原级数收敛。例8.研究级数的敛散性 所以级数是收敛的。解.由于内容小结内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P263 1(2),(3),(4),(6);2 (4),(6);3 (1),(2)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不
6、成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.判别级数的敛散性:解解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)发散,故原级数发散.11.3.2、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理1.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛例例1 用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.3、绝对收敛与条件收敛、绝对收敛与条
7、件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理11.9 绝对收敛的级数一定收敛.证证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 作业作业 P263 4(1),(3),(5)1.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错;又C
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