1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数Fourier级数级数第十一章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题无限项相加,是否可以加起来?怎么加?对比有限项加法和乘法,有什么不同?一个奇怪的例子.定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散.级数收敛当且仅当机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用定义证明级数的敛散性证明级数收敛:部分和数列收敛;证明级数发散:部分和数列的子列发散;例题例题 讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数)(q
3、 称为公比)的敛散性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.判别下列级数的敛散性:例例3.判别级数的敛散性.例例1.书上例题3的不同证明二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明说明:线性性质线性性质(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.原级数和其余项级数同敛散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 余项级数原级数去掉前面的n项性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.(关于加法的结合律)推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 这说明原级数收敛,其和为 3.(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P231 1.单；2.单；3.第二节 目录 上页 下页 返回 结束
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