二阶常系数齐次微分方程.pptx

上一页上一页下一页下一页 返回返回学习要求学习要求了解二阶常系数齐次微分方程的概念。了解二阶常系数齐次微分方程的概念。掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法。掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法。上一页上一页下一页下一页 返回返回6.5 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程1、定义、定义形如：形如：的方程，称为的方程，称为二阶线二阶线性微分方程性微分方程特点特点称为二阶称为二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程称为二阶称为二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程上一页上一页下一页下一页 返回返回如：如：二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程上一页上一页下一页下一页 返回返回2.2.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:上一页上一页下一页下一页 返回返回那么什么情况下才是方程的通解呢？为了解决这个问那么什么情况下才是方程的通解呢？为了解决这个问题，我们引进了线性相关和线性无关的概念。题，我们引进了线性相关和线性无关的概念。上一页上一页下一页下一页 返回返回例如例如方程通解为方程通解为上一页上一页下一页下一页 返回返回二、二阶常系数齐次线性方程的解法二、二阶常系数齐次线性方程的解法1、定义、定义形如：形如：的方程，称为的方程，称为二阶二阶常系数齐次线性微分方程。常系数齐次线性微分方程。2、求解、求解找两线性无关特解找两线性无关特解设特解为设特解为则则特征方程特征方程特征方程的解特征方程的解 特征根特征根上一页上一页下一页下一页 返回返回特征方程是一个二次方程，按照二次方程的根的情特征方程是一个二次方程，按照二次方程的根的情况，特征跟有下列三种不同的情形况，特征跟有下列三种不同的情形1、特征根是特征方程的两个不相等实根、特征根是特征方程的两个不相等实根2、特征根是特征方程的两个相等实根、特征根是特征方程的两个相等实根3、特征根是特征方程的两个共轭虚根、特征根是特征方程的两个共轭虚根1、特征方程有两个不相等特征实根、特征方程有两个不相等特征实根方程两特解方程两特解线性无关线性无关所以方程的通解为所以方程的通解为上一页上一页下一页下一页 返回返回2、特征方程有两相等特征实根、特征方程有两相等特征实根设方程另一个特解为：设方程另一个特解为：则则所以方程的通解为所以方程的通解为上一页上一页下一页下一页 返回返回3、特征方程有共轭复数特征根、特征方程有共轭复数特征根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为上一页上一页下一页下一页 返回返回上一页上一页下一页下一页 返回返回解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1上一页上一页下一页下一页 返回返回解：对应特征方程解：对应特征方程所求方程通解为所求方程通解为例例2 2并求满足条件并求满足条件所求特解为所求特解为上一页上一页下一页下一页 返回返回解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为上一页上一页下一页下一页 返回返回小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)上一页上一页下一页下一页 返回返回上一页上一页下一页下一页 返回返回思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.上一页上一页下一页下一页 返回返回思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解上一页上一页下一页下一页 返回返回练练 习习 题题