曲线积分和曲面积分.docx

参考解答
1、计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中L为由Oxy平面上的直线及抛物线所围成区域的边界。

第1（1）题
解：，

（2），L为椭圆，其周长为a。
解：
注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于x（y）轴对称，而被积函数关于y（x）为奇函数，则曲线积分为零！
（3），L为圆周（）。
解：圆周之参数方程为（），故

（4），L为
解：
（5），L圆周为
解：因，故

2、计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中L为折线上从点到点再到点的二线段。

解：，

（作代换，知第二个定积分与第一个相等）
（2），L是圆周，从z轴正向看去，该圆周取逆时针方向。

解：L的参数方程为，故得

3、利用Green公式计算下列曲线积分：
（1）， L由，与x轴围成，沿逆时针方向。

第3（1）题
解：L为封闭曲线，如图所示，直接运用Green公式。

（）

但

，
故得。从而得

（2）， L由的正向。

第3（2）题
解：，，。但和在L所围正方形区域内并不连续（在点处两者根本不存在），故不满足Green公式之条件。为此，采用“挖地雷”方法：取以原点为心、（或小于的任意正数）为半径的圆l，并取逆时针方向，如图所示。其参数方程为：

于是，l和L所围区域D成为“安全地带”，在D上，P和Q均具有一阶连续偏导数，Green公式成立。于是

因此，

4、计算积分， 其中L是由点沿曲线到点的弧段。

第4题
解：这里，。因此，在曲线L和线段AB所围闭区域上，曲线积分与路径无关。这里，线段AB的方程为，，方向为从点A指向点B。
因此，

。
5、验证是某函数的全微分，并求出这样的一个。
解：这里，故

因而，故知为某函数的全微分。以下我们用两种方法来求。
方法1（利用曲线积分）：

方法2（利用待定函数法）：
因，故得
（将y看作常数）
（其中为待定函数，与x无关）
于是，

但另一方面，，故

于是得，。因此所求函数为
，
其中C可取任意常数。
6、计算下列对面积的曲面积分：
（1），其中是锥面在柱体内的部分。

第6（1）题
解：

（2），其中为球面。
解：

因关于三个坐标面都是对称的，故
，
，
于是

利用轮换对称性，

因此，

（注意球的表面积为）
于是得

（3），其中为平面被柱面所截下的部分。
解：

第 6（3）题
7、计算下列对坐标的曲面积分：
（1），其中是圆柱面被平面和所截下的部分，取外侧。

第7（1）题
解：被yoz平面分成和两片，对于x轴正向而言，取上侧，而取下侧，它们在yoz平面上的投影区域和如上图所示。于是

因此。
（2），其中是球面，的外侧。
解：利用公式得

（3），其中是锥面被，所截部分的外侧。

第 7（3）题
解：利用公式，得

注：第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）的解题步骤为“一投”、“二代”、“三定号”。上两题中，我们将积分统一化为在xoy平面投影区域上的二重积分，解题过程得到大大简化。这是在不适合用Gauss公式（曲面不封闭；或即使可以补成封闭，但计算未能得到简化）时常用的方法。否则，像第（1）小题那样，我们往往必须将曲面分块，分别进行投影。选择最优策略，省出宝贵时间，去做更多事情，不亦乐乎？
8、利用Gauss公式计算曲面积分：
（1），其中为平面，，，所围立体表面的外侧。
解：

（2），其中为下半球面的上侧。
解：补一圆面：，取下侧。于是

注意封闭曲面取内侧，与Gauss公式所要求的外侧相反，故第二个等式右边三重积分前有一个负号！
9、求向量场在点处的散度。
解：

10、设流体密度为1，流速，求单位时间内从曲面的下侧流向上侧的流量。
解：将曲面记为Σ（为旋转抛物面），补一取下侧的圆面：。于是

注意封闭曲面取内侧，与Gauss公式所要求的外侧相反，故第三个等式右边三重积分前有一个负号！
11、设，求的旋度，并计算曲面积分，其中为锥面，其法向量与z轴正向夹角为锐角。
解：
可用两种方法来计算。
解法1（创造条件，运用Gauss公式）

（第一类曲面积分）
（第二类曲面积分）

（其中为圆面之下侧，封闭曲面取外侧）
（Gauss公式）
（二重积分之极坐标算法）

解法2（直接运用Stokes公式）
（上侧）之边界线L为xoy平面上半径为2的圆，取逆时针方向，其参数方程为，于是

12、用Stokes公式计算，其中为圆周，，从x轴正向看，取逆时针方向。
解：记，所围圆面为，取上侧。则

（转化为第一类曲面积分）

注意到平面之法向量为，故，因此得

13、求，L为空间螺线。
解：

14、设函数在XOY平面上具有一节连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t，恒有，求。
解：因曲线积分与路径无关，故有。故可设
，其中为与x无关的待定函数。
于是

因，故得

即，从而得，或即。因此
。
15、确定常数λ，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。
解：向量为某二元函数的梯度，等价于说：存在某二元函数，使得
，
也就是说，为某二元函数的全微分。根据曲线积分与路径无关的条件，得

即

整理得

故得。
由得

从而

另一方面，。故得，。因此
。
16、求，其中为由及围成的封闭曲面的外侧，是此曲面外法线的方向余弦。
解：
（化为第二类曲面积分，封闭曲面取外侧）
（Gauss公式）
（利用三重积分之对称性）
（利用柱面坐标）

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