初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除.doc

初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导 言初中数学知识点梳理沪教市北综合版为编者依据沪教版初中数学和市北初级中学资优生培训教材初中数学的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版初中数学侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版初中数学拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（）”部分为市北版的加深内容，练习带“（）”部分也为市北版内容。 第一章 数的整除 23 一、 知识结构二、 重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。难点：求两个正整数的最小公倍数。第一节 整数和整除1.1 整数和整除的意义 正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5叫做正整数。 负整数：在正整数1，2，3，4，5之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5叫做负整数。 零既不是正整数，也不是负整数。 自然数：零和正整数统称为自然数。 整数：正整数、零、负整数统称为整数。正整数 自然数整数 零负整数 整除：设a、b是两个整数，且ba，若存在整数q，使abq，则称b整除a，或a被b整除，记作ba。（）或者说，如果整数a除以整数b(b 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。整数a除以整数b整数a被整数b整除 a b整数b整除整数a例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？287 103 54解：因为2874 ， 10331 ， 541.25 ，所以被除数能被除数整除的是287。 注意整除的条件： 除数、被除数都是整数； 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 整除的主要性质：（） cb、ba，则ca； 若ma、mb，则m（ab）; 若ma、mb，则m（ab）; 若ma，则mab（b为自然数）; n个连续正整数的积能被n！整除。（n的阶乘：n！123n）（）例如：a为整数时，2a(a+1) 6a(a+1)(a+2)24a(a+1)(a+2)(a+3)（）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为234=24的倍数。4d 整除与除尽的区别：整除：它只在整数氛围内讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；除尽：未限制数域范围，只是除完后没有余数。练习 是否有最小的自然数？ 是否有最大的整数？ 把下列各数分别填入相应的括号中。 22 60，12，3.14，0，1，1，0.618， 7正整数（ ），负整数（ ），自然数（ ），整 数（ ）。 下列各式中，哪些式子表示整除？1243 （ ） 200.540 （ ） 3575 （ ） 45451 （ ） 4.21.43 （ ） 787.810 （ ） 2.61.32，能不能说2.6能被1.3整除？ 如果a表示一个自然数，且a2，写出： 紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_; 紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_。 下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？4276 （ ）350.6 （ ）40.220 （ ）5312 （ ）8.132.7 （ ）230.66666 （ ）1.2因数和倍数 倍数和因素：如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。 因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个 数最 小最 大因 数有 限1它本身倍 数无 限它本身没 有 一个数的因素的求法： 列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性； 列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。例：求18的因素。 乘积是18的算式有：118=18，29=18，36=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。 18能整除的算式有：181=18，182=9，183=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。 一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。 任何正整数都是1的倍数。练习填空: 455= 9，( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 一个正整数a的因数的个数是( )，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( )。 一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( )。 有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。1.3数的整除性常见数的倍数特征： 2的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。 9的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。 11的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被11整除。 7、11、13的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。 4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 8或125的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0。 能同时被2，3，5整除的数的特征: 个位是0，而且各个位上的数字的和能被3整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。例1：一年级72名学生课间加餐共交52.7元，处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？（）解：由于7289，因此，527要都能被8、9整除，527被8整除，即27被8整除，从而得出个位数字是2。527被9整除，即：527279被9整除，从而可得首位是2。所以每人交了：252.72723.51(元)。答：每人交了3.51元。例2：要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。（）解： 因为3649 ，所以C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，首先A应尽可能小，于是取A0，又156ABC93BC能被9整除，即BC3是9的倍数，C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，因此B取1，C取5。答：A、B、C分别是0、1、5。练习1.1（）1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。小马虎统计错了吗？为什么？3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？1.4奇数与偶数（） 奇数与偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)；不能被2整除的数叫做奇数(odd number)。 0是偶数。 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 设n是整数，则：2n是偶数，2n-1或2n+1是奇数；设n是正整数，则：2n是正偶数，2n-1是正奇数。 奇数偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数； 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数。 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数。 两个连续整数的和是奇数，积是偶数。 推广结论： 奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数。 如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶。 两个整数的和与差的奇偶性相同。例1：在1，2，2008中每个数前面任意添加“”、“”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由。()解：因为ab与ab的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的 “”号逐一改成“”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与12200810042009的奇偶性相同，因此，所求算式的结果为偶数。例2：将1，2，99重新排列成a1，a2，a99，求证：乘积(a11)(a21)(a991)一定是偶数。()解：1，2，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，a99中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，a99这50个数中必有一个是奇数，设其中ak是奇数，则：akk是两个奇数之差，因而是偶数，所以（a11）（a21）（a991）一定是偶数。练习1.2()1、5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次？4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?偶数最少有几个?第二节 分解素因数1.5素数、合数与分解素因数 素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number)（或质数）。 100以内的质数表：100以内共有26个质数，具体为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。熟记20以内的全部素数。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(composite number)。 重点注意： 1既不是质数也不是合数； 2是最小的质数，也是唯一的偶质数； 4是最小的合数； 正整数可以分成质数、合数和1。因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。 素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数(也叫质因数)。例如15=35，3和5 叫做15的素因数。例1：判断3333334111111是素数还是合数？()解：3333334111111 333333300000011111111111111300000011111111111111（30000001）11111113000001所以，3333334111111是合数。例2：桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？() 小明：我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。小丽：我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗？解：假设结果可能，并设最后剩下n堆，每堆3粒， 则在此之前一共进行了（n1）次操作，而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去（n1）粒，因此3n（n1）1001，即4n1002因为4n是4的倍数，而1002不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，假设不成立。所以，不可能在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子。 分解素因数：把一个合数分解成若干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。把一个合数分解素因数，通常可用“短除法”或“树枝分解法”。 用短除法分解素因数的步骤： 先用一个能整除这个合数的素数（通常 从最小的开始）去除； 得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。例3：把60分解质因数： 2 6 0 2 3 0 3 1 5 560=2235。 树枝分解法：例4：把60分解质因数： 60 2 30 2 15 3 560=2235。 一个数的因素个数的计算诀窍：用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积，并将相同的素因数用幂次方的形式表示，则因素个数各素因数的幂次方分别加1后相乘，如：42000243537，则42000的因素有(41)(11)(31)(11)80个。() 素数与合数的性质： 素数有无数多个。 2是唯一的偶素数。大于2的素数必为奇数。如果两个素数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个素数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。 若素数pab，则必有pa或pb。() 若正整数a、b的积是素数p，则必有ap或bp。() 唯一分解定理：任何整数n（n1）可以唯一地分解为：np1a1p2a2 pkak，p1p2pk是素数；a1，a2，ak是正整数。()例5：已知四个质数满足p1p2p3p4，且p12p22p32p42511，试求这四个质数。()解：由于511是奇数，所以这四个质数不都是奇数，其中必有偶质数2，即p12，代入得：p22p32p42507因为507529232，所以p419，若p419，则p22p32146,可知73p32146，p311，p25；若p417，则p22p32218,可知109p32218，p311或13，p311时，p2297，p2无解；p313时，p2249，p27；所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17。例6：当x取1到10之间的质数时，四个整式：x22、x24、x26、x28的值中，共有质数多少个？()解：1到10之间的质数有2、3、5、7， 由于2是偶数，所以可用质数为3、5、7。 当x3时，x2211，x2413，x2615，x2817，有11、13、17三个质数；当x5时，x2227，x2429，x2631，x2833，有29、31两个质数；当x7时，x2251，x2453，x2655，x2857，有53一个质数；所以，共有6个质数。例7：三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数。()解：设这三个质数分别为P、Q、R，则有： PQR11（PQR）可知，必有一质数为11，设R11，则：PQPQ11，PQPQ11，P（Q1）（Q1）12，（P1）（Q1）12，设PQ，所以P11，Q112，或P12，Q16，或P13，Q14，得：P2，Q13，或P3，Q7，或P4，Q5（不符合质数的条件，舍去），故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11。练习1.3(1) ()1、在1到100这100个自然数中任取其中的n个，要使这n个数中至少有一个合数，则n至少是多少？2、有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。3、已知P，P10，P14都是质数，求所有这样的数P。练习1.3(2) ()1、分解素因数：45，88，126。2、农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3、在乘积1000999998321中，末尾连续有多少个0？4、已知三个质数a、b、c，它们的积等于30，求适合条件的a、b、c的值。5、证明：存在2006个连续数，它们都是合数。1.5公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 如果a1，a2，an和d都是正整数，且da1, da2, ，dan，那么d叫做a1，a2，an的公因数，公因数中最大的叫做最大公因数，记作（a1，a2，an）。() 互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数，也叫互素。 成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质； 相邻的两个奇数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质； 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 两个数的最大公因数的特殊情况： 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数； 如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 求几个数的最大公因数的方法： 列举法：分别列举出每个数的所有因素，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数。 分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。 短除法：用所求的几个数的公因数去除这几个数，除到所得的商没有公因数为止，然后将左边除数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。例1：用短除法求12和42的最大公因数。 2 12 42 3 6 21 2 712和42的最大公因数是236。例2：用短除法求84、126和210的最大公因数。 2 84 126 210 3 42 63 105 7 14 21 35 2 3 584、126和210的最大公因数是23742。例3：在3和9、4和9、3和7、7和14、14和15五对数中，哪几对数是互素的？解：根据互素的概念，如果两个整数只有公因数1，则这两个数互素。所以，在这五对数中，4和9、3和7、14和15这三对只有公因数1，所以这三对数互素。例4：植树节这天，老师带领24名女生和32名男 生到植物园种树。老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等。请问，这56名同学最多能分成几组？（）解：分成的组数能整除24和32，也就是24和32的因数，题目实际上是求24和32的最大公因数。（24，32）8答：这56名同学最多能分成8个组。练习 求8，9和30的最大公因数。 求18和30的最大公因数。 用短除法求60和72的最大公因数。 用短除法求48、72和120的最大公因数。练习1.4()1、2520的因数有多少个？2、求24，44，60的最大公因数。 111113、分数是不是最简分数？ 150154、一块长方形木料，长72cm，宽60cm，高36cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩，算一算可以锯成几块？5、有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？1.6公倍数与最小公倍数 公倍数和最小公倍数：两个或多个数都有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 如果a1，a2，an和m都是正整数，且a1m, a2m, ，anm，那么m叫做a1，a2，an的公倍数，公倍数中最小的叫做最小公倍数，记作a1，a2，an。（） 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 两个数的最小公倍数的特殊情况： 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数； 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 求几个数的最小公倍数的方法： 枚举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。 分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 短除法：a. 两个数的最小公倍数：用两个数的公因数去除这两个数，除到所有的商互素为止，然后将所有除数和最后得到的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。b. 三个数的最小公倍数：首先，用三个数的公因数去除每个数，除到三个数的商互素为止；其次，再用每两个数的公因数去除每个数，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商互素）为止；第三，把这些除数和最后的商相乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数。例1：用短除法求12和42的最小公倍数。 2 12 42 3 6 21 2 712和42的最小公倍数是232784。例2：用短除法求84、126和210的最大公因数。 2 84 126 144 3 42 63 72 7 14 21 24 2 2 3 24 3 1 3 12 1 1 484、126和210的最小公倍数是237231141008。例3：求18和30的最小公倍数。解：方法一：18的倍数有18，36，54，72，9030的倍数有30，60，90，120，150所以18和30的最小公倍数为90。方法二：把18和30 分解质因数：1823330235取出所有公有的素因数（1个2一个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些连乘，即：233590，所得的积90即是它们的最小公倍数。方法三： 2 18 30 3 9 15 3 518和30的最小公倍数是233590。例4：一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下5人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少有多少名小朋友做游戏？解：根据题意，要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求出4、5、6这三个数的最小公倍数后，再加上2。2 4 5 6 2 5 3 4、5、6的最小公倍数是225360，60262（名）答：最少有62名小朋友在做游戏。例5：三角形三边的长a、b、c都是整数，且a，b，c60，（a，b）4，（b，c）3，求abc的最小值。（）解：因为（a，b）4，（b，c）3， 所以b必须是43的倍数，由于是求abc的最小值，可以设定b为12，根据（a，b）4，也可以设定a为4，因为a，b，c60，（b，c）3，所以c至少必须有3、5两个因素，c最小为15，所以，abc的最小值为4121531。答：abc的最小值为31。练习 求最小公倍数。 31和93 7和13 用短除法求最小公倍数： 24,36 10,12,15 某车站,每隔8分钟开出一辆电车,每隔10分钟开出一辆汽车。上午9时,有一辆电车与一辆汽车同时开出,求9时以后再过多久电车与汽车第一次同时发车？ 重阳节,欣欣中学的师生到敬老院看望老人,他们共准备了320个苹果，240个橘子，200个梨，来慰问老人。问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(水果必须全部分完)？在每份礼物中,苹果、橘子、梨各多少个？ 在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，轨道交通4号线每隔5分钟发车。如果1号线、3号线、4号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？练习1.5()1、 求2520和5940的最大公因数和最小公倍数。2、 用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数。3、 张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张。如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y额最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？