反比例函数知识点总结.doc

反比例函数知识点总结 李苗
知识点1 反比例函数的定义
一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例
函数
（）
的
符号

图像

性质
①的取值范围是，y的取值范围是
②当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
①的取值范围是，y的取值范围是
②当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。
☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，
则

☆ 反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。
☆ 经典例题透析
类型一 反比例函数的概念
☆ 1．判断下列各式是否表示y是x的反比例函数，若是，指出比例系数k的值；若不是，指出是什么函数.
（1） （2） （3） （4）
（5）； （6） ；（7）（为常数，）
☆ 2. 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.
☆ （1）面积为常数m的长方形的长y与宽x之间的关系；
☆
☆ （2）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看完的页数y与天数x之间的关系.
☆
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
☆ 【专题解读】 反比例函数的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k的关系有如下两种情况：
☆ （1）双曲线的两个分支在第一、三象限在第一象限内，y随x的增大而减小.
☆ （2）双曲线的两个分支在第二、四象限在第一象限内，y随x的增大而增大.
☆ 3. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）

专题3 反函数的图象
☆ 【专题解读】 如左下图所示，若点A（x，y）为反比例函数图象上的任意一点，过A作AB⊥x轴于B，作AC⊥y轴于C，则S△AOB=S△AOC=S矩形ABOC=.
☆

☆ 4. 如右上图所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连接OQ，当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．无法确定
☆ 5．在反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
☆ 6. 如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
☆ 7．如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）
☆ 8. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是-3.
☆ （1）求一次函数的表达式；
☆ （2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围.
9. 已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）.
☆ （1）求这个反比例函数的表达式；
☆ （2）经过点A的正比例函数的图象与反比例函数的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
☆ 10．如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.
☆
☆ 11.如右上图所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ________ .
☆ 求的值（用含n的代数式来表示）_________________
☆ 中考真题精选:
☆ 1.（江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
☆ A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）
☆ 2.（重庆江津区）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（　　）
☆ A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
☆ 3.（吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
☆
☆ A、﹣1 B、 C、1 D、2
☆ 4. （辽宁阜新）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）
☆
☆ A. B.2 C.3 D.1
☆ 5.（玉林）如图是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是（　　）
☆ A、1 B、2 C、4 D、8

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