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函数值域的求法大全
题型一　求函数值：特别是分段函数求值
例1　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值.
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
反思与感悟　求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2) f(1)＝＝，f[f(1)]＝f()＝＝.
5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f()；
(2)若f(x)＝5，求x的值.
解　(1)f(2)＝22＋2－1＝5，
f()＝＋－1＝.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，
∴x＝2，或x＝－3.
(3)
4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.
答案　6
解析　f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f2)＝f(1)＋1＝3，
f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例1 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③ （记住图像）
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略
③ 当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：

二次函数在区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①； ②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值;
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
再比较的大小决定函数的最大（小）值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+的值域
解：由算术平方根的性质，知≥0，故3+≥3。∴函数的值域为　　.
2、求函数 的值域
解：对称轴

1 单调性法
例3 求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)= －,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

2 换元法

例4 求函数 的值域
解：设，则

　 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
求的值域；
例5 （三角换元法）求函数的值域
解： 设

小结：（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设其中

3 平方法

例5 （选）求函数 的值域
解：函数定义域为：

4 分离常数法
例6 求函数 的值域
由 ，可得值域
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
练习
求函数 的值域
求函数 的值域
0
1

求函数 y=的值域；（y∈(-1，1)）

-1
0
1
3
4
-4
x
y
例7 求 的值域
解法一：（图象法）可化为 如图，
观察得值域

解法二：（不等式法） 同样可得值域
练习：的值域

例8 求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则 原函数可化为

例9求函数 的值域
解：（换元法）令，则
1
0
x
y
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例10 求函数 的值域
解：（图象法）如图，值域为
（换元法）设 ，
则

例13 函数 的值域
解法一：（逆求法）

2
解法二：（换元法）设 ，则

解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时 不成立
2） 时，

综合1）、2）值域
解法四：（三角换元法）设，则

原函数的值域为
1

0
例14 求函数的值域
5
解法一：（判别式法）化为
1）时，不成立
2）时，得

综合1）、2）值域
解法二：（复合函数法）令，则

所以，值域
例15 函数的值域
解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）1）当时，
2） 时，
综合1）2）知，原函数值域为
例16 (选) 求函数的值域
解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当时取等号，故值域为
例17 （选） 求函数的值域
解：（换元法）令 ，则原函数可化为。。。
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。
利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数的值域
象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
解：由得：
（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域。
错解：原式变形为 （＊）
∵，∴，解得。
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。
正解：原式变形为 （＊）
（1）当时，方程（＊）无解；
（2）当时，∵，∴，解得。
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域。
错解：将函数式化为
（1）当时，代入上式得，∴，故属于值域；
（2）当时，，
综合（1）、（2）可得函数的值域为。
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数的值域。
错解：由已知得 ①，两边平方得 ②
整理得，由，解得。
故函数得值域为。
错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。∵时，，∴，故函数的值域应为。
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数的值域。
错解：令，则，∴，由及得值域为。
错因：解法中忽视了新变元满足条件。∴设，，，
。故函数得值域为。
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

练习：
1 、；
解：∵x0，，∴y11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)
2 、
0 t=4x-0 得 0x4
在此区间内 (4x-)=4 ，(4x-) =0
∴函数的值域是{ y| 0y2}
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图

5、求函数的值域
解：设 则 t0 x=1-
代入得
∵t0 ∴y4
6、（选）求函数的值域
方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y¹1时∵xÎR ∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0
由此得 (5y+1)0
检验 （有一个根时需验证）时 （代入①求根）
∵2 Ï定义域 { x| x¹2且 x¹3} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y¹1
综上所述，函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}
方法二：把已知函数化为函数(x¹2)
由此可得 y¹1，∵ x=2时即∴函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}

函数值域求法十一种

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。
解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为

例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵

代入方程（1）
解得：
即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为

例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为

6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解：令
则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。
解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时，
当时，
故函数的值域为

例12. 求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有

当时，
当时，
而此时有意义。

故所求函数的值域为

例14. 求函数，的值域。
解：

令，则

由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令

∵

当时，
当时，
故所求函数的值域为：

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：

例17. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为

例18. 求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：

例20. 求函数的值域。
解：

当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：

10. 一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为

11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数的值域。
解：

令，则

∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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