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二次函数和相似学案
第18课时 二次函数与相似学案
武汉市11初级中学 杨剑文
一、考点聚焦：
相似的基本图形在二次函数中应用比较多，如08年4月考第25题⑵⑶直接给出相似的基本图形；09年4月考第25题⑶考查相似的基本图形；10年4月考第25题⑶、10年中考第25题⑵隐含着相似的基本图形，因此同学们必须会利用相似的基本图形来解决问题；
二、基础回顾：
抛物线y=﹣x²＋2x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于C点；
⑴点A、B、C的坐标分别为A（___，____）、B（___，____）、C（___，____）；
⑵此抛物线的顶点坐标为（___，____），对称轴为直线∠ABC=_______°；
三、典例解析：
例：抛物线y=ax²﹣2ax＋b交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且AB=4，OC=3OA；
⑴求抛物线的解析式；
⑵如图，问在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使∠PCB=90°？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
方法一：设直线PC交x轴于点H，则点H（___，____），直线PC的解析式为_______；联立方程组，可得点P（___，____）；
方法二：作PG⊥y轴于点G，则△_______∽△_______；设P（___，____），则______________，得点P（___，____）；

⑶如图，若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D，问是否存在这样的直线l，使得以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出直线l的解析式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：
①要使以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，必须满足的关系式是______________；
②联想∠ABC=_______°，可考虑添加辅助线_______，进而求得点D（___，____）和直线l的解析式______________；

⑷如图，若点A关于y轴的对称点为D，问在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB=∠DCO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：
①延长CP交x轴于点Q，则由∠PCB=∠DCO，可得∠_______=∠_______；进而△_______∽△_______；∴G（___，____）；
②直线PC的解析式为______________，解方程组，可得点P（___，____）；

⑸如图，设抛物线的的顶点为E，并将直线CE向下平移，交抛物线于P、Q两点（点P在点Q的右边），当时，求点P的坐标；
分析：①点E（___，____）；
②联想，怎样构建相似三角形：____________；

⑹如图，点E为抛物线的顶点，问在y轴上是否存在一点P，使得△PEB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：
①△PEB为直角三角形，可能有_______种情况，它们分别是____________________________；
②若点_______为直角顶点，可作辅助线______________；
③若点_______为直角顶点，可作辅助线______________；
④若点_______为直角顶点，可作辅助线______________；

四、方法提炼：
⑴熟练运用相似基本图形解题；
⑵存在性问题的解决方法，可先假设存在，然后再假设的前提下，根据条件解决，最后要验证；
⑶求点的坐标的方法，常采用联立方程组求交点直接用几何方法亦可；
⑷求以某一线段为边构造直角三角形时，要分类讨论，若此线段为斜边，可转化为以此线段为直径的圆来解决；

五、同步巩固：
1. 如图，抛物线y=﹣x²＋3x＋4交x轴于A、B两点，交y轴于C点，问在第一象限的抛物线上否存在D点，使∠DCB=90°？若存在，求D点的坐标，若不存在，请说明理由.

2. 如图，抛物线y=x²﹣4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P点在第一象限的抛物线上，∠OCA =∠PCB，求P点的坐标。

六、课外提升：
抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，其顶点的横坐标为1，且过（2，3）和（-3，-12）
⑴求抛物线的解析式；
⑵设点D为第一象限抛物线上一点，DE⊥x轴交BC于F，连接DC，若ΔCDF与ΔBEF相似，求点D的坐标；

⑶点M为轴负半轴上一点，在第一象限的抛物线上是否存在点N，使AN平行且等于BM的一半？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由；

⑷P为第一象限抛物线上一动点，以P为顶点,PB为腰作等腰RtΔBPQ(点B,P,Q按顺时针顺序)，M,N分别为BC，BQ的中点，当P点在抛物线上运动时，线段OP与线段MN是否存在某种确定的数量关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

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