数学高中排列组合知识和典例.doc

1排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.2组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.排列数、组合数的公式及性质排列数组合数公式An(n1)(n2)(nm1) C性质An！；0！1C1；CC_；CCC注意：易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关一、排列问题直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法排列典型例题：有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻解：(1)从7人中选5人排列，有A765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA5 040(种)(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5A3 600(种)法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA576(种)(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA1 440(种)1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B648C328 D3602.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A10种B16种C20种 D24种二、 组合问题组合典型例题：某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有CC120(种)方法(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有CC246(种)1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A30种 B36种C60种 D72种2.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种C65种 D66种三、 排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题1.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15B20C30 D422.将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A150种 B180种C240种 D540种此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于部分均分，解题时注意重复中的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数(3)涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论（1）使用4种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：（2）使用3种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：不相邻所以涂色方案有：（3）使用2种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止总计种常见题型1将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A24种 B12种C10种 D9种解析：选B第一步，为甲校选1名女老师，有C2(种)选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C6(种)选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有26112(种)，选B.2从0,1,2,3,4中取出3个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为()A24 B36C48 D60解析：选C法一：百位数字只能从1,2,3,4中任取一个，有A种方法十位与个位可从剩下的4个数中取2个，有A种方法，则三位数的个数有AA44348.故选C.法二：从0,1,2,3,4中取出3个数字排在百位、十位与个位的方法总数有A，其中0作为百位的三位数有A，则三位数的个数有AA5434348.故选C.3如图，MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A30 B42C54 D56解析：选B用间接法先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C个，再减去三点共线的情形即可共有CCC42(个)4有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48C72 D96解析：选B据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有AAAACC48(种)摆放方法5(2016福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A12种 B20种C40种 D60种解析：选C(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有240(种)6现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有_种不同的方法(用数字作答)解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有CC1 260(种)答案：1 2607从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_种解析：特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一个参加，有C种方案，然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A种方案，故共有CA460240(种)方案答案：2408(2017黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1AA72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2AA12(种)，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.答案：609把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为_(用数字作答)解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号在4个空位插3个板子，共有C4(种)情况，再对应到4个人，有A24(种)情况，则共有42496(种)情况答案：96