三年高考分析极坐标与参数方程.docx

一． 考纲
（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.
（4）了解参数方程，了解参数的意义.
（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
二、坐标系与参数方程命题分析
解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。
三、考点
（一）方程互化问题
互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.
互化公式：或（θ的象限由点(x,y)所在的象限确定）
名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.
1、极坐标方程与直角坐标方程的互化
考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）
（2016全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
答案：（Ⅰ）
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化
命题意图：重点考查了转化与化归能力
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.
强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I） 求，的极坐标方程；
解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为
考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）
（2015新课标2 ，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；
答案：和
考点：直角坐标及极坐标方程的互化
试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.
联立 解得 或
所以与交点的直角坐标为和
总结提升：互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．
3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.
强化训练
1．（2016 全国卷3，23）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I） 写出的普通方程和的直角坐标方程；
答案：的普通方程为，的直角坐标方程为.
2、参数方程普通方程的互化
考题1（参数方程化为普通方程）
（2017课标3，22）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.
答案：（1）；（2）
试题解析：（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为，
消去k得 ，即C的普通方程为.
（2）化为直角坐标方程为，
联立 得 ，
∴，
∴与C的交点的极径为.
考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程
总结升华：（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。（2）利用将极坐标方程化直角坐标方程
强化训练
1.（2017课标1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；
答案：（1），
试题解析：（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或．从而与的交点坐标为，．
2. （2016高考新课标23）在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．
答案：（I）圆,（II）1
试题解析：⑴ （均为参数）,∴ ①
∴为以为圆心,为半径的圆．方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程
⑵,两边同乘得
,即 ②
：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：,即为
∴,∴
考题2（普通方程化为参数方程化）
已知曲线C：，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解
解：（1）曲线C的参数方程为

（θ为参数）故直线l的普通方程为2x+y-6=0
名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化
（二）弦长问题
考题1.1（2016江苏21）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长
解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.
.
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题
总结升华：1、“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.
2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法：
（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式计算。
其中，k为直线的斜率，x1、x2为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在) （2）利用直线的参数方程来解； （3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中ρ的几何意义就表示距离。
变式训练
1（2015新课标2，23）在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线
（I）求与交点的直角坐标；
（II）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.
答案：（I）；（II）4.
试题解析：
解：（I）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.
（II）曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以,当时取得最大值,最大值为4.
2.（2016全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，
所以的斜率为或.
（三）距离问题
考题2 [2016高考新课标3，23]在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
答案：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；
（Ⅱ）．
试题分析：利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式求C2的极坐标方程即可；利用参数方程表示出P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立PQ=d(a)的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P坐标即可。
试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：极坐标方程，参数方程化为普通方程；点到直线的距离问题；利用辅助角公式求最值
命题方向：选做题
命题意图：熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式，点到直线距离公式，以及数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力
总结提高：一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．
强化训练
1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为．
答案：1
试题解析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式
2. （2015高考陕西，23）
在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
(I)写出的直角坐标方程；
(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.
答案：(I)； (II).
3.（2017全国卷1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
解：（1）曲线的普通方程为，
当时，直线的普通方程为
由解得或
从而与的交点坐标为
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

当时，的最大值为，由题设得，所以；
当时，的最大值为，由题设得，所以
综上，或
（四）面积问题
考题1.（2015高考新课标1，23）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.
答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=.
考点:直角坐标方程与极坐标互化；三角形面积问题
方法：设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质即可解决问题
总结提升：本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长，面积等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。
变式训练
1.(2017课标II，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。
答案：(1)；(2) 。
试题解析：（1）设的极坐标为，M的极坐标为，由题设知。
由得的极坐标方程。
因此的直角坐标方程为。
（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积

当时，S取得最大值。
所以面积的最大值为。
数学组 蒙先彩
2017年12月5日