乘法原理与加法原理教案.doc

第十一讲 乘法原理与加法原理知识提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理：N= m1m2mn。乘法原理： N= m1m2mn。经典例题家桥学校ABCDGEF例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？分析与解：把从小刚家到学校的路分为两步。第一步从家到桥，第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG根据此题，得出如下结论：乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1种不同的方法；第二步有m2种不同的方法；第n步有mn种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m1m2mn。5876例2 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成： 3543180（个）没有重复数字的四位奇数。例4：下图为44的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？ 分析与解：四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一行和一列都不能放B，还剩下9个方格可以放B，所以B有9种方法；第三步放C，再去掉放B的行和列，还有4个方格可以放C，故C有4种放法；最后放D，再去掉C所在的行和列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有 16941576（种）不同放法。 在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。例5 从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞机2班，火车有3趟，汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？分析与解：三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方法。（飞机2班，火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的地应有235=10不同的方法。根据此题，得出如下结论：加法原理 要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m1中不同方法；在第二类办法中有m2中不同方法；在第n类办法中有mn中不同方法。在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：N= m1m2mn。例6：如图：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？ 解：从甲地到丙地共有两类不同走法。 第一类：由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步，从甲地到乙地有4种走法；第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有： 428种不同走法。 第二类：从甲地直接到丙地，有3种走法。由加法原理，从甲地到丙地若有 8311 种不同的走法。例7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？ 解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大类。 第一类：两个数字同奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也有3种可能，由乘法原理，共有339种不同的情形。 第二类：是两个数字同偶。也有9种不同的情况。 据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有： 9918种不同的情况。基本训练1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？ 2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。从每个小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？ 3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式？4如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH，问可以画多少个不同的三角形？5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个(1)三位数？(2)三位偶数？(3)没有重复数字的三位偶数？(4)百位有8的没有重复数字的三位数？(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数？拓展提高 1某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是09这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？2两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？3某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？奥赛训练1 超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？2 从130这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？3自然数11000中，“0”这个数字一共出现了多少次？ 第十二讲 简单的排列与组合知识提要1、理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理：N= m1m2mn。乘法原理： N= m1m2mn。排列：= n（n-1）（n-2）（n-m+1）（mn）组合：=2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。经典例题5876例1 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）排列的公式： = n（n-1）（n-2）（n-m+1）（mn）例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？ = n（n-1）（n-2）（n-m+1）（mn）=5(51)(52)(54+1)= 5432=120例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？分析与解：从n个不同元素中，任意取出m个元素（mn），组成一组，叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。用符号表示。组合的公式：=排列与组合的区别：排列与元素的顺序有关： 例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。组合与元素的顺序无关：例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。=（543）（321）= 606= 10 答：一共可以扎成10种不同的花束。例3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？分析与解： 因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。 =（109）（21） = 902 = 45答：火车票应有45种不同票价。例4 平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？分析与解：通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。+= (765)(321) + (7654)(4321)= 35+35= 70 答: 可以画出70个三角形或四边形。例5 如图。共有多少个平行四边形？分析与解： 根据数长方形个数的方法，“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。= (87)(21)(65)(21)=2815=420答:共有420个平行四边形。基本训练1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可以写出多少种？2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段？3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？ 4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？ 5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？拓展提高 1. 用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？ 2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？3. 六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？ 4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排中间。他们一共有多少种不同的排法？ 5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：“我不站在后排的边上。”。他们一共有多少种不同的排法？6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称出多少种不同重量的物体？奥赛训练1.一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？ 2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？第十三讲 巧求面积知识提要1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：ahabhaahaba2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程： 正方形面积=边长边长=a2， 长方形面积=长宽=ab， 平行四边形面积=底高=ah， 三角形面积=底高2=梯形面积=（上底下底）高2=经典例题例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米，小正方形边长6厘米）图三图二图一图二图一 分析与解：（610）62 662 （106）102=48（平方厘米） =18(平方厘米) =80（平方厘米） 例2 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大正方形的边长10厘米，小正方形的边长6厘米，求阴影部分的面积。分析与解：方法1：两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。102+62（10102）（10+6）62=38（平方厘米）。方法2：添加辅助线GB，三角形BDG与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。 （10-6）102662=38（厘米2） 答：阴影部分的面积是38平方厘米。例3 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析与解： 方法1：如下图1，先将BC四等分，即BD=DE=EF=EC，连结AD、AE、AF得到四个等积三角形，即ABD、ADE、AEF、AFC。 方法2：如下图2，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即ABD与ADC等积然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积FEDCBAEFDCBAFEDCBA方法3：如下图3，先将BC四等分，即BD等于四分之一BC，连结AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD，连结CE、CF，从而得到四个等积三角形，即ABD、CDF、CEF、ACE等积图1 图2 图3想一想：你还有其他方法吗？从上面例题得到下面结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍例4 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相等分析与解：证明：ABC与DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD 等量减等量所得的差相等。例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米，(如图)，那么原来三角形的面积是多少平方米?分析与解：方法1：已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出三角形的高，也就是原三角形的高，又知道原三角形的底，从而求出原三角形的面积。1521=3（米） 532=7.5（平方米） 答：原来三角形的面积是7.5平方米。方法2：已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍，所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的5倍。 155=7.5（平方米）例6如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积分析与解：方法1：连结BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）方法2：连结CE，如右图所示，在ACE中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE =43=12（平方厘米）例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积分析与解：解：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）例8 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE=1，求BEF的面积分析与解：解：连结AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEF，SABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1基本训练1选择题（有且只有一个正确答案）：（1）如下左图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有_个 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （2）如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有_个（A）0个 （B）1个（C）2个 （D）3个（3）如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有_对（A）0对 （B）1对（C）2对 （D）3对（4）如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是_（A）11 （B）11.1（C）11.2 （D）11.42填空题：（1）如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的_（2）如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是_（3）如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，SBEGSCEG=21，SCFGSDFG=11，那么这四个小三角形面积之和_（4）如上右图，在ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是_拓展提高1.如图1，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，已知线段AE=3厘米，DF=2厘米，求阴影部分的面积是多少？ 2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是102米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积等于多少平方米？3.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？AGEDCBF4.如图，四边形ABCD是长方形，A、D、E、F在同一条直线上。AB7，BC5，DG3。求DE的长。5.如图，正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起，已知AB=4厘米，BE=3厘米，AE=5厘米。请你计算出长方形AEFG的面积。 AECDB6.如图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD18厘米，DC6厘米，AE10厘米，EC5厘米。求三角形ADE的面积。奥赛训练1.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。 第十四讲 用等量代换求面积知识提要一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。经典例题例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求出上底即可。上底OC：10-3=7（厘米），面积：（7+10）22=17（平方厘米）。 答：阴影部分的面积是17平方厘米。例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于：1082+10=50（平方厘米）。答： 平行四边形ABCD的面积是50平方厘米。例3在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解： 求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形ABCD面积：（8+4）62=36（厘米2） 三角形ECB面积：36-18=18（厘米2） EC：1826=6（厘米） ED：6-4=2（厘米） 答：ED长2厘米。例4如下图，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析与解：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。方法1：连结B，E（见下左图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。SBEC：4（107）2=6SBEF：2（107）2=3 差：63=3 图1 图2 图3 图4 方法2：连结C，F（见上右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。SBCF：4（107）2=6 SECF：2（107）2=3 差：63=3方法3：延长BC交GF于H（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。SBHF：（4+2）（107）2=9矩形：2（107）=6 差：96=3方法4：延长AB，FE交于H（见上右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。 矩形：4（107）=12SBHF：（107）（4+2）2=9 差：129=3例6左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见上右图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。442=8（厘米2）答：三角形ABC的面积是8平方厘米。基本训练1.如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起， 求阴影部分的面积。2.在右图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。3.图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米， 三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。4.如图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。AFEDCB5.如图，平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，BE3AE，BF2DF。求三角形DEF的面积。拓展提高AODCB1.如图，ABCD是梯形，对角线AC和BD相交于O，三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形ADB的面积比三角形COD的面积少15平方厘米。求梯形ABCD的面积。AOFEDCB2.如图，四边形ABCD是边长12厘米的正方形，E、F分别 是BC和CD的中点，DE和BF相交于O。求四边形ABOD的面积。奥赛训练1.如图，ABC中，AD：DB=2：1，BE：EC=3：1，CF：FA=4：1，那么DEF是ABC的面积的几分之几？CEFDBA第十五讲 用长方形图巧解题知识提要用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可以帮助我们分析解答应用题，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题的方法。经典例题1、用长方形图巧计算例1计算：19992105-19932108分析与解：计算时如果硬算就会感到比较复杂，但如果我们把它放在一个长方形图中，就会使计算简便。从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积的差。所以：19992105-19932108 =（1999-1993）2105-（2108-2105）1993 =62105-31993 =12630-5979 =6651例2计算：分析与解：计算时可引用正方形图来分析：=1-=2、画长方形图解“平均数”问题例3甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用5千克甲种糖与多少千克乙种糖混合后，能使混合糖每千克8.2元？分析与解：我们画两个长方形来表示甲、乙两种糖的数量、单价和总价。在上图长方形ABED中，AB表示甲种糖有5千克，AD表示甲种糖的单价是8.8元，它的面积表示甲种糖的总价；长方形BCGF中，BC表示乙种糖的千克数，CG表示乙种糖每千克7.2元，它的面积表示乙种糖的总价。AH、CJ表示两种糖平均后单价8.2元。在平均过程中，甲种糖多出的价钱补给了乙种糖，所以长方形DEIH与IJGF的面积是相等的。经过平均，甲种糖单价由8.8元变为8.2元降低了0.6元，所以长方形DEIH的宽是0.6，它的长是5，因此面积是3。长方形IJGF的面积为3，宽为8.27.2=1，所以长BC为31=3。即5千克甲种糖与3千克乙种糖混合后，混合糖每千克8.2元。例4某校有60名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是63分，其中参赛的男选手平均成绩为60分，女同学平均成绩为70分，那么该校参赛的男同学比女同学多多少人？分析与解：画长方形图来表示题目中的数量关系（如右图）。长方形ABCD的长AB表示共有60人参赛，宽AD表示所有参赛同学的平均成绩63分，它的面积表示所有参赛选手的总分。长方形AEFG表示所有参赛女生的总分，长方形EBJI表示所有参赛男生的总分，这两个长方形的面积和应该也表示全体参赛同学的总分，即与长方形ABCD的面积相等。图中空白部分是它们公有的，所以阴影长方形（1）、（2）面积相等。长方形（1）、（2）面积相等，它们宽GD：HI=（7063）：（6360）=7：3，它们长AE：EB=3：7，AB长为10份，10份为60人，每份为6010=6（人），男生比女生多73=4份，所以男生比女生多64=24（人）。答：参赛的男同学比女同学多24人。3、画长方形图解“盈亏问题”例5数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批新生编成几个班。若每班55人，则还可以再招30名新生；若每班50人，则还可以再招10名新生。请问现在招了多少名新生？分析与解：若每班55人，则还可以再招30名新生，说明最后一个班只有5530=25（人）。若每班50人，则还可以再招10名新生，说明最后一个班只有5010=40（人）。如下图长方形ABEF来表示按每班50人，排满若干班的人数，而长方形BCDE表示剩下的40人，这两个长方形的面积之和表示这批新生的总人数；长方形ABHG表示按每班55人，排满若干班的人数，而长方形BEIJ表示剩下的25人，它们的面积之和也表示这批新生的总人数。因为新生的总人数是固定的，所以图中两个阴影长方形的面积相等。长方形JCDI表示4025=15（人）；长方形FEHG也表示15人，它的宽为5550=5（人），所以长为155=3。即可以排满共有3个班。所以共有50340=190（人）。答：现在招了190名新生。例6解放军某部赶往长江干堤支援抗洪。计划每辆汽车乘30人，剩下3人随意搭乘在某辆车上。但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆汽车乘坐34人，剩下5人随意搭乘在各辆车上。请问原来有多少辆汽车？共派出多少名解放军战士去抗洪？分析与解：画长方形图来表示数量之间的关系。图中长方形ADGJ的面积表示每车30人，坐满原有车的人数，DEFG表示剩下的3人，两个长方形的面积之和表示总人数；长方形ABLK的面积表示每车34人，坐满现有车的人数，BCHI表示剩下的5人，它们的面积之和也表示总人数；由于总人数没变，所以两个面积之和是相等的，除去它们共有的空白部分，两块阴影的面积也是相等的。长方形BEFI的面积表示33人，从中减去5人，就是CEFH表示的人数为335=28（人）。长方形JILK的面积也表示28人，它的宽为3430=4，长为284=7。即表示有7辆汽车。解放军战士有：3475=243（人） 答：共派出243名解放军战士。4、画长方形图解“鸡兔同笼”问题例7“希望小学”100名师生参加植树活动，共植树175棵，教师每人植4棵树，学生每两人植3棵树。参加植树的教师和学生各有多少人？分析与解：根据图意我们可以画长方形图来表示数量关系，如下图：AB表示教师人数，BC表示学生人数，AC表示一共有100人；AD表示教师每人植树4棵，CG表示学生每人植树棵数，因为每两人植3棵，所以每人植1.5棵；两个长方形的面积之和表示共植树175棵。如图1，假设师、生每人都植树1.5棵，延长GF交AD边于H，长方形ACGH的面积表示假设每人都植树1.5棵时，100人植树棵数。长方形ACGH表示植树1.5100=150（棵）长方形DEFH表示教师多植树175150=25（棵）教师有25（41.5）=10（人） 学生有10010=90（人）。基本训练1.计算：12345678123356792.某班级一次考试的平均分是80分，其中及格人数是不及格人数的5倍，及格同学的平均分是85分，那么不及格同学的平均分是多少？3.在一个停车场上，现有的车辆数恰好是24，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子，那么，三轮摩托车有多少辆？4.有一些糖，如果每人分5块则余10块；如果现有的人数增加到原来的1.5倍，那么每人分4块则少2块。这些糖共有多少块？5.水果店运来橘子、苹果和梨一共80箱，共重1164千克。每箱橘子重12千克，每箱苹果重16千克，每箱梨重14千克，已知苹果和梨的箱数相同。运来橘子、苹果和梨各多少箱？ 6.A、B两地相距650千米，某车从A第开往B地，共行了14小时。已知在平原上每小时行55千米，在山区每小时行40千米。汽车在平原和山区各行了几小时？ 拓展提高1.某校五年级举行英语竞赛，所有参赛同学的平均成绩是80分，已知男同学的平均成绩是77分，女同学的平均成绩是85分，已知参赛的男同学比女同学多25人，求该校五年级共有多少名学生参加了英语竞赛？ 2.学校规定早晨7:30到校，小刚从家出来时，看看剩下的时间，心里计算了一下：若每分钟走60米，要迟到5分钟；若每分钟走90米，能提前5分钟。他想按时到校，请你帮他计算一下，每分钟要走多少米？3.一只螃蟹有10只脚，蜻蜓有6只脚，2对翅膀；螳螂有6只脚，1对翅膀。现在有螃蟹、蜻蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀32对。求螃蟹、蜻蜓、螳螂各有多少只？奥赛训练1.小明每天早晨6：50从家出