等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版).doc

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。（3）若，则。特别的，当时，得 注：等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中，, ,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.解析：法一：设此数列公比为，则由(2)得：.(3) .由(1)得： , .(4)(3)(4)得：， ,解得或当时，；当时，.法二：,又, 、为方程的两实数根， 或 , 或.总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。【变式2】an为等比数列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；，又an0，a45=4。【变式3】已知等比数列，若，求。【答案】或；法一：，从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】；，。【变式2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；，则a1=1或a1=9.【变式3】在等比数列中，求和。【答案】或2，；，解方程组，得 或将代入，得，由，解得；将代入，得，由，解得。或2，。类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中，若,求.解析： 是等比数列， 举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1a100=100; 则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】216；法一：设这个等比数列为，其公比为，。法二：设这个等比数列为，公比为，则，加入的三项分别为，由题意，也成等比数列，故，。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中，已知，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比数列，S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：，由已知得得，即 代入得，。法三：为等比数列，也成等比数列，。举一反三：【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=_.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20) 即302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，, , .【变式3】等比数列的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【答案】 ，(否则)=80 .(1)=6560.(2)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知q1an为递增数列，an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【变式4】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比数列，b3=4,即a5+a6=4.【变式5】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。【答案】448；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.由(2)得a=.(3)由(1)得32a=d2+32d .(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.当时,；当d=8时,a=10原来三个数为,或2,10,50.法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时.原来三个数为2，10，50或，,.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2，6，18或；设所求的等比数列为a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比数列为2，6，18或.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案】1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1设这三个数分别为，由已知得得，所以或，即或故所求三个数为：1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4或9， x=0或15，四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1 (nN+), a1=S1=51-1=4,当n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1时，45n-1=451-1=4=a1, nN+时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列Cn，其中Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。【答案】p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意nN且n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为p, q，且pq为证Cn不是等比数列，只需证.,又 pq, a10, b10,即数列Cn不是等比数列.【变式3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；(4)an是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.【答案】(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说0，0，0成等比；(3)对；anbn首项为a1b1，公比为q1q2；(4)对；(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)无意义.类型七：Sn与an的关系例7已知正项数列an，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列an的通项an.解析：， ，解之得a1=2或a1=3.又， 由-得，即an+an-10，an-an-1=5(n2).当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.【答案】0；由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比数列，则，即，所以只有当b=-1且a0时，此数列才是等比数列.由命题2得，a1=a-1，当n2时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-10，即a1时数列an才又是等比数列.第 12 页 共 12 页