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高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1：某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是___________。
分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b，则售价为b（1－20%），因为原价为a，所以进价为a（1－25％）
解：依题意，有化简得，所以，即
2、一次函数问题
例2：某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路x（km）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x（t）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。
解：汽车离开A地的距离x km与时间t h之间的关系式是：，图略。
速度vkm/h与时间t h的函数关系式是：，图略。
3、二次函数问题
例3：有L米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
解：设小矩形长为x，宽为y，则由图形条件可得：
∴
要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：

∴当时，
即： 此时窗框面积S有最大值。
可见，一般的设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。
例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？
分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通过填表来回答：

10000元贷款的本金（元）与它的利息之和
1个月后

2个月后

3个月后

…
…
23个月后

24个月后

通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。

可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：

即
解之得
提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a元，m个月将款全部付清，月利率为r，那么每月付款款额的计算公式是什么？
显然问题转化为建立关于x的方程。设采用分期付款方式贷a元，m个月将款全部付清，月利率为r，每月付款x元，那么：

把右边求和，得，
所以：万元。
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。
例5：将n个球随机地放入n个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解：因为每一个球都可以放进n个盒子中的任一个盒子，共有n种不同的放法，n个球放进n个盒子就有n×n×…×n=种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。
第一个球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n个球放进n个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有种不同的放法，因而所求得概率为：
。
几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A的可能性与A的几何测度成正比，而与A的形状及位置无关。如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。
例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内）
解：以x、y分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：∣x－y∣≤20，两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（x，y）表示，该正方形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分（满足不等式∣x－y∣≤20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。

。
通过这一段的研究，笔者有如下心得：
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
（2）在数学教学和课外活动中，要鼓励支持学生“面对实际问题时，能主动尝试着以数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”。开阔学生的数学视野，使他们了解数学的应用价值。