高二导数讲义(2).doc

导数
【知识归纳】
1、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=。
2、导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
3、几种常见函数的导数:
① ② ③; ④;
⑤⑥;
⑦; ⑧.

4、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：‘=（v0）。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|
5、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，
如果，则为增函数；
如果，则为减函数；
如果在某区间内恒有，则为常数；
6、极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
7、最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
【常见综合题方法导航】
1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征恒成立
恒成立；
2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；
（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：
第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；
第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
3、函数的切线问题；
问题1：在点处的切线，易求；
问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；
第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；
经典题型分类解析
【导数定义的应用】
例1、求抛物线 上的点到直线的最短距离.

1、（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
2、已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _____________.

3、已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 __ __m2.

【利用导数研究函数的图像】
例1、（安徽高考）设＜b,函数的图像可能是（ ）

1、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 。
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
图1
图2
图3
图4

【利用导数解决函数的单调性及极值问题】

例1、当 ，证明不等式.

例2、（全国高考）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
【变式1】（ 全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．

【变式2】（ 浙江高考）已知函数 ．若函数在区间上不单调，求的取值范围．

练习
1、利用函数的单调性，证明：
变式1：证明：，
变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

2、已知函数，是的一个极值点．
（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．

3、设函数,若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性.

4、设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有．
5、设。
（1） 求在上的值域；
（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。

【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】
例1、（江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式】（ 辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

综合实战训练
1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为(　)

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.
4. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ）.

5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A)6 (B)0 (C)5 (D)1
6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )
(A)1，－1 　(B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19
7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.
8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .
9．（湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则
10．（湖南）函数在区间上的最小值是
11．（浙江）曲线在点处的切线方程是 9．. 已知函数
（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；
（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。
12．(安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
实战训练B
1．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．（江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（江西）5．若，则下列命题中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（江西）若，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
7．（全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（福建）设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
15．(07广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

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