数形结合思想方法在中学中的应用文献综述.doc

数形结合思想方法在中学中的应用文献综述摘要：众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，简单的说就是研究数与形的科学，两个研究对象相辅相成。由数与形结合而得来的数学方法也成为了古今中外众多学者重点研究的方面，本文将从数形结合思想方法的背景与研究意义、演变过程、理论基础以及学习数形结合思想的意义等四个方面的研究情况进行综述。关键词：数形结合；文献综述引言数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本文将从问题研究的背景和意义、演变简史、理论依据、教育价值、与其他学科的联系等五个方面的研究情况进行综述。一、 问题研究的背景和研究意义数量关系与空间形式共同构成了数学教育研究中两个核心的组成要素。数学重点研究的是“数”与“形”关系，数形结合思想是义务教育阶段数学学习的重要内容，它贯穿于初中各年级的数学教材之中，数形结合思想不仅体现了各个学科彼此之间的内部关联性和统一性，而且体现了人们对数学的整体认识。继2012年教育部审核通过了七年级数学教材，2013年相继审核通过了八年级和九年级数学教材。新教材的投入使用，教师对新教材的使用情况及评价，使得数形结合思想已成为数学教育研究的问题之一。对教师来说，宋玉军（2010）认为，课程改革提出了新的课程标准，作为教者与学生如何贯彻好课改精神，从培养学生的自身解题能力上出发，让教者不只是为了教而教，而是通过解题分析在给学生传授着一种数学思想。让学生学会这种思维的方式与方法数形结合法。数形结合法不仅是中学数学中一种很重要的思想方法。同时也是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一。数形结合法具有直观、形象、简洁、快速的特点。对学生来说，陈滟玲（2014）认为，数形结合思想能够很好的帮助学生进行数学问题的解决。数学家华罗庚先生以前对数形结合思想有过这样的描绘，“数以形而直观,形以数而入微。”“借助于数形结合，可减少很多复杂的计算，从而简化解题过程。”数形结合思想联系了数学知识和空间图形，不仅能够优化学生解决问题的思路，而且能够培养学生的空间想象能力,抽象逻辑思维能力。高尚凯（2015）认为，“数形结合”能帮助学生更好的掌握和记忆所学的知识。数学是严密的，因此需要“数”的精确；数学又是抽象的，因此需耍“形”来辅助和加强对有关知识的记忆和理解；二者是相辅相成的。因此，教师在给学生传授数学知识时，一般会结合一些生动形象的实例或图表加以说明，尽可能使抽象的数学形象化，这样学生对输入的数学信息的印象会更加深刻，并有利于学生在脑海中形成固定的数学的模型。例如：在研究函数时，通过函数图形来记忆函数的相关性质就会达到事半功倍的效果。总之，数形结合法是数学教学中一种重要的思想方法，也是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一。数形结合法具有直观、形象、简洁、快速的特点，因而倍受教师与同学们的青睐。对于有些问题，若能抓住本质，利用数形结合思想方法，则可更直观、更快速地求解。二、 数形结合思想的演变过程“数形结合”一词的正式出现，与我国数学家华罗庚先生息息相关。华罗庚先生在1964 年撰写了一本谈谈与蜂房结构有关的数学问题这样的科普小册子，在这本书中有这样的一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永久联系，切莫分离！”因为华罗庚先生在我们国家数学界的影响力之大，所以“数形结合”一词出现不久之后，立即获得了数学界的普遍认同。数形结合从此就开始作为一种重要的数学思想被人们广泛的接受。对于数形结合思想的产生，研究人员普遍都赞同以下的观点：（1） 数的产生源于计数：在原始时代，人们已经发明了数字，并且通过不同的形式来记录数字。最开始是使用手指头，当人们意识到手指头不够用的时候，又开始用石子计数，但是石子计数不利于长久的保存，于是又发明了结绳法和刻痕的方法。随着数字的应用越来越广泛，逐渐的有了进位制。在各种进位制中，十进制是应用最多的一种。其中除了玛雅数字采用二十进制和巴比伦楔形数字采用六十进制之外，其他的均属于十进制。计数系的出现，使数与数之间的书写与运算成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老文明的地区发展起来。到此，代数学便慢慢的开始发展。（2） 几何学的产生：类似于代数的产生，最初的几何方面的知识则是从人们对形的直觉中萌发出来的。前人首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现，几何知识随着人们的实践活动而不断的扩展。在古代的中国，几何学的起源更多的与天文观测有关。中国最早的数学经典周髀算经，事实上就是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法的著作。随着各国几何学的不断的发展，几何学也作为一门独立的学科开始发展。（3） 数形结合的产生：代数和几何在原始社会都有了各自的雏形，并且随着社会的发展它们也在不断的发展。代数与几何被联系到一起主要归功于数轴的建立，数轴的建立使人们对数与形的统一有了跳跃式的认识。数轴上，一个点对应着一个数，一个数也同样的对应一个点，由此点的位置可以数量化，而数的运算也可以几何化。在此基础上，笛卡尔又把数轴扩展成了平面直角坐标系、空间直角坐标系，这样一来，所有的几何图形都可以放在坐标系中来解决，中学阶段学习的数形结合的相关问题大部分都是用坐标系作为纽带。坐标系的创立奠定了数形结合思想发展的坚实的基础。三、数形结合的理论基础数形结合思想方法作为一种科学的方法与解题手段，当然有其科学的心理学与教育学的理论基础。卢向敏（2013）认为，按照学生的思维认识规律，数形结合的形成过程可以分为四个层次，分别是感受、理解、运用、内化。具体为：（1）感受是指对某一事实发生的感觉，关注所发生的事件，并以数学知识为载体，着重明确解决问题的思路，激发学生的兴趣。（2）理解是指建立数形结合思想观点，是在感受基础上的一个升华。包括两点：一是能理解数形结合的含义，二是掌握数形结合方法。（3）运用是指运用数形结合方法，在认识的基础上作出简单操作，并形成自己的观点，尝试解决简单教学情境下的数学问题，知道数形结合方法也具有局限性。（4）内化是指转化数形结合方法，在形成发展的基础上，将数形结合方法转化为自我的思维方式。学会从思想上区别、综合、形成自己特有的观念。而高尚凯（2015）所描述的理论依据更有说服性，他认为数形结合的理论基础有以下的依据：（1） 多元智能理论：数形结合思想避免了总是以抽象的方式学习数学，而是结合“形”的简明直观的特点，激发学生对数学的学习兴趣，让形象思维促进抽象思维，反过来抽象思维加强形象思维的准确性。“由数到形，由形到数，数形互助”的过程，既离不开数理逻辑智能，也离不开观察、比较、空间想象、创造、反思等等能力，它是多种智能综合运用的过程。（2） 表征理论：数形结合中的“数”就是一种符号表征，是用数学符号或文字叙述来呈现数学问题的；而“形”则是一种圏像表征，用直观的化何图形来呈现各个数学元素间的数量关系。数形结合解决数学问题的过程即是数学对象的各种表征选择和转化的过程。（3） 心理学理论：学生的思维都要经历从具体到抽象，从单维到多维，从无序到有序的发展过程。对形的感知发展到一定程度后，才能发展更高级的抽象思维，而抽象思维反过来又促进形象思维的发展，但不可能代替或涵盖形象思维。在教学过程中,要尽量的从形象具体的实例或模型入手，以便学生接受，然后逐歩将具象物体进行代数或符号表示，达到数与形的结合，完成思维水平的提高。四、学习数形结合思想方法的意义对于学习数形结合思想方法的意义，几乎每篇与数形结合思想方法相关的文献资料都会提及，主要分为学生层面的意义以及教师层面的意义，大致上可以分为以下几方面：1. 学生层面：（1） 有助于学生形成和谐、完整的数学概念：数学概念是数学逻辑的起点，是学生认知的基础，是学生数学思维的核心，但是由于数学中的概念往往是高度抽象的，给人一种单调、乏味、枯燥、难懂的错觉。利用数形结合的思想可以帮助学生理解数学概念。 （2） 数形结合有利于培养学生的形象思维：首先，数形结合丰富了表象的储备，而表象的运动过程可促进形象思维发展；其次，数形结合有助于培养学生对图形的想象能力，促进学生形象思维的发展。（3） 数形结合有利于培养学生的抽象思维：数形结合表面上看是代数与化何之间的结合，但任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的，而数形结合在应用的过程中，常常根据数量关系与图形特征么间的联系和规律，把一个形的问题转化迁移到与之相应的数的问题，反么数的问题也能转化违移到与之相应的形的问题上来。因此，数形结合能培养学生的抽象思维。（4） 数形结合有利于培养学生的发散思维和创造性思维：在教学中，我们可以从数和形两方面通过“一题多解”或“一题多变”的形式，突出己知与未知之间的关系，引发学生的产生新思想、新方法，提出新问题。也可通过对同一问题从多角度进巧研讨、交流等教学活动，鼓励学生将已有的思维方式大跨度地迁移，去探索和发现新的思维形式和思维方法，迸发出创造性思维的火花。（5） 数形结合有利于培养学生的直觉思维：在数学里，存在着大量的直觉思维。用数形结合的方法解题，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，有时只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案。这就是说人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而做出大胆的猜想和合理的假设，并得出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。（5）数形结合有利于培养学生的辩证思维：运用数形结合解题过程中，或化形为数、以数论形，或化数为形、以形论数，或化整为零、分求合。总之，运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，送样才能更好地把握事物的本质。2. 教师层面：（1） 有利于学生形成和谐、完整的数学概念：数学逻辑的起点是数学概念,这也是学生认知的基础，但是数学中的概念往往是高度抽象的，而数形结合能把抽象化为具体生动的形象，有利于学生对数学概念的理解、记忆。除此之外，数形结合还能发展和优化学生的数学认知结构，加强知识与知识之间的相互联系与转化，构建有效的知识网络，使学生原有的认知水平得以深化发展，从而加深了对知识的理解。最终，使学生的知识整体化、系统化。（2） 有利于巧展学生寻找解决问题的途轻：首先，在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的圈形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透。使许多数学复杂问题简单化，抽象问题具体化，避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，从而优化解决问题的途径。其次，从数形结合入手，分析题目中的数量关系或图形持征，利用数来研究形的各种性质，利用形将各种数量直观化，寻求规律，挖掘隐含在题目中的隐含余件，从而使问题化隐为显，促成问题的解决。（3） 数形结合有助于培养学生的数学情操和数学素养：教学中，教师注意挖掘教材中数形结合内容，创设数形结合情境，可有效提高学生数学素养。数学源于人类长期的生活实践，因此，数学中客观存在着美感，例如对称美，简洁美、轮换美、奇异美、和谐美等，这在数与形的结合上体现得十分完美。在数学教学活动中，教师要充分利用这些材料，唤起学生对数学美的追求，引导学生领略数学的美，培养学生的数学审美情趣，提高审美意识，经历审美体验，促进人的素质的全面提高。结论总结了多篇同类型的文章以后，可以看出，在数形结合的研究意义、演变过程、理论基础与教育意义方面的研究已经较为全面了。但笔者认为，在实际教学中，这些理论的实用性不大，而且与数形结合在实际教学中的应用与创新等方面相关的研究较少，笔者认为应该在这方面多加研究。参考文献1陈艳玲.北师大版初中数学教材中数形结合思想研究D.陕西师范大学：课程与教学论，2015.2高尚凯.高中生的数形结合能力调查与策略D.华中师范大学：学科教学（数学）， 2015.3宋玉军.高中数学有效运用数形结合思想的教学研究D.东北师范大学：学科教学（数学），2010.4卢尚敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用D.内蒙古师范大学：学科教学（数学），2013.5顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究D.南京师范大学：学科教学（数学），2004.6刘会灵.数形结合思想在中学数学教学中的应用D.河南大学：学科教学（数学），2014.7刘兴楠.数形结合思想在中学数学教学中的应用D.辽宁师范大学：学科教学（数学），2011.8李国敬.数形结合在初中数学教学实践中运用的研究D河南大学：学科教学（数学），2015.