全国高考文科导数大题官方解答.docx

1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．
解：（Ⅰ）定义域为，，
若，则，所以在单调递增；
若，则当时，；当时，，
所以在，单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）由于，所以，
故当时，等价于，①
令，则，
由（Ⅰ）知，函数在单调递增，而，，
所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，
设此零点为，则，
当时，；当时，，
所以在的最小值是，
又，可得，所以，
由于①等价于，故整数的最大值为．
2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处切线方程为．
Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．
解：（Ⅰ），
由此得，，故，
从而，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令得，或，
从而当时，；当时，，
故在，单调递增，在单调递减，
当时，函数取得极大值，极大值是．
3．（2013新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）
己知函数．
（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
解：（Ⅰ）定义域是，，①
当或时，；当时，，
所以故在，单调递减，在单调递增，
故当时，取得极小值，极小值是，
当时，取得极大值，极大值是，
（Ⅱ）设切点是，则的方程是，
所以在轴上截距是，

由已知和①得，，
令，则当时，的取值范围为，
当时，的取值范围为，
所以时，的取值范围为，
综上，在轴上截距的取值范围．
4．（2014新课标全国卷1文21，本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围．
解：（Ⅰ），由题设知，解得．
（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，

（Ⅰ）若，则，当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，
即，解得．
（Ⅱ）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增．
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．
（ⅡⅠ）若，则．
综上，的取值范围是．
5．（2014新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
解：（Ⅰ），，
曲线在点处的切线方程为
由题设，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故
设，
由题设知，
当时，，单调递增，
，，所以在有唯一实根，
当时，因为，所以，
令，，
在单调递减，在单调递增，
所以，
所以在没有实根，
综上在有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．
6.（2015新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）证明：当时.
解：（I）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
7.（2016新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数.
(I)讨论的单调性； (II)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解：（Ⅰ）
（i）设，则当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（ii）设，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
（Ⅱ）（i）设，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b＜0且，
则，所以有两个零点.
（ii）设a=0，则所以有一个零点.
（iii）设a＜0，若，则由（I）知，在单调递增.
又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（I）知，在单调递减，在时＜0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
8.（2017新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
解：（12分）（1）函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增.
②若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
③若，则由得.
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.
（2）①若，则，所以.
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.
综上，的取值范围为.