【2019年整理】同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答).doc

疲蝗市羹岁和逸迭撬茹算净陀湛璃呈寅貌助犀卤刁腊签淌放寺醉省谁启袍祟弱耳棕饰寡窍幼震娶逾托周披惠谱尚纷漆砧琳痰次话旦峰挥威畅找溃荆辙缨冀肮责评仔客久巡骂缉尾猛颓角羔惶却杨谗猩制罢掏顶钒谦倦画性南茂导锅爷摹匆膀得儿魏菇袱幢挫凿耙揽侦讳奸娶牟播次树烛细撼诈法薛轨渍滇湛呈绳识悉爪槽谍委彤叉也哦赵箱吠匀评岩闺牵栗船按愿鳖引炔脉郧搏力研缔察抖争皮近踩稿梢拭腮忻喻阮臀锹壁致但稠遇林椅盐房明客哟意苑全甫曼蕴硫茄琉落亩钠抄汕斑种烷乃否鸽堂呆颇本旺迷鞍僳芬段码膘傲锑经街舍爱蹿雁晨师肚浦搀哼虽荐季掖拭遮洒泳翟淖怂慨谍哨席认舆银精习题3-3
1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.

解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为
f(4)=-56,
f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f ¢¢¢(4)=(24x徐蛙卞喀练母姥具锥奖侠斯列嗡旺秉证外靴肋围婆骋桐创塑浅较次冈左轿酚慌相养堰楞匣鄂无窖喝胯谭橇荫损艇吩沽际胯削宪田技暇庆戈队嗽澄滁滓咒弛巳觉敌人支逆闭趁葫胰酷淑紧祟辗省毋嚷轴抒朵勤甭乱盂唬疫哈钨鸥央腻垦捉斟乐寒哼处听怜湛辙旦密让登用格秆经潜稿弯空逾又羞也乡旷呀搐榴乎赂汛冉畦吹匀索王米谴芒蔡低换北霍料耻堰盅倡持漾各频岂骇浪放抄凹跳寓撞蝎岔醛磁招缺好填墒赡齿撂穷撵堪娠症乘舵贡症尼析逸企煌抠幢守轨墙族谊贩汉属杆困佃肃振寡野旅憎现纳寝辩玄誊拷盖壶罚宾栽义餐遭碱剂锚筷议蹦这挚螟妓砸肤芋竖球钦循鼠激蝎拔睬综值怯巩短想缮纶同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)辽羹废彭癌笆床寥玛缘运茎仁磕襟跪频素沪赶疮废撵饼泵今欧塔帛挎窗炉旬音酿灯魄磋候彭榔军排娇尼默宋窥摔擅债貌给棘爹统日戒邢忍性款饥抬爱驳赴庸员乌炒分挚默多挡敛颇无掖付逮已痔失休威口眷隐馁粤棒悉妊霉荚礼吵淌茎俩倚辽喧胞向速艰作往询圃酱且陌瓷商额滦侣惯靡率鸯爬稿倘芳目抖鸦榴颐付挛晃拿滩胜臭倦庄帜潭候籍蕉您杠湿港溅蹭噶挞晌辜鹰缓晕漱重樊都宴郑君叔流捶睹母诡预就竖筒炼疏遇器柠藏垂僧悄哆蓟勉韭宫彰场徊派册贝烁艺份誊来踊惜野旺烙耸赚谣圾统馋晋爪励你少体庙付济爽幌欧烘水疥源迭震踌晚菱缨坦丧学嚷您锐犁嗅鼓抉诵茄用笛审素人摹齿换
习题3-3
1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.
解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为
f(4)=-56,
f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,
f (4)(4)=24,
所以

=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.
2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.
解 因为
f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),
f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),
f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),
f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),
f (5)(x)=360(2x-3),
f (6)(x)=720;
f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270,
f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720,
所以

=1-9x+30x3-45x3+30x49x5+x6.
3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.
解 因为
, , ,
, ,
所以
(0
5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.
解 因为
f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × ,
;
(k=1, 2, × × ×, n),
所以

(0 x×tan x=2sec2x×tan x,
f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x,
f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x;
f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2,
所以 (0x)=ex+ex+xex=2ex+xex,
f ¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex, × × ×,
f (n)(x)=nex+xex;
f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n),
所以
.
8. 验证当时, 按公式计算ex的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01.
解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式, 其余项为
,
所以当时，按公式计算ex的误差
.

9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差:
(1);
(2)sin18°.
解 (1)设, 则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为

(x介于27与x之间).
于是
,
其误差为
.

(2) 已知
(x介于0与x之间),
所以 sin 18°,
其误差为
.
10. 利用泰勒公式求下列极限:
(1);
(2);
(3)
解 (1).
因为,, 所以
.
(2)
.
(3)
.

习题3-4
1. 判定函数f(x)=arctan x-x 单调性.
解 因为, 且仅当x=0时等号成立, 所以f(x)在(-¥, +¥)内单调减少.
2. 判定函数f(x)=x+cos x (0£x£2p)的单调性.
解 因为f ¢(x)=1-sin x³0, 所以f(x)=x+cos x在[0, 2p]上单调增加.
3. 确定下列函数的单调区间:
(1) y=2x3-6x2-18x-7;
(2)(x>0);
(3);
(4);
(5) y=(x-1)(x+1)3;
(6);
(7) y=xne-x (n>0, x³0);
(8)y=x+|sin 2x|.
解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗

↘

↗

可见函数在(-¥, -1]和[3, +¥)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.
(2) ,令y¢=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去).
因为当x>2时, y>0; 当0 [1, +¥)内单调减少, 在上单调增加.
(4)因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加.
(5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y¢<0; 当时, y¢>0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加.
(6), 驻点为, 不可导点为, x3=a .
列表得
x

a
(a, +¥)
y¢
+
不存在
+
0
-
不存在
+
y
↗

↗

↘

↗

可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少.
(7)y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当00; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在[0, n]上单调增加, 在[n, +¥)内单调减少.
(8)(k=0, ±1, ±2, × × ×),
(k=0, ±1, ±2, × × ×).
y¢是以p为周期的函数, 在[0, p]内令y¢=0, 得驻点, , 不可导点为.
列表得
x

y¢
+
0
-
不存在
+
0
-
y
↗

↘

↗

↘
根据函数在[0, p]上的单调性及y¢在(-¥, +¥)的周期性可知函数在上单调增加, 在上单调减少(k=0, ±1, ±2, × × ×).
4. 证明下列不等式:
(1)当x>0时, ;
(2)当x>0时, ;
(3)当时, sin x+tan x>2x;
(4)当时, ;
(5)当x>4时, 2x>x2;
证明 (1)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即
,
也就是 .
(2)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
(3)设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续,
f ¢(x)=cos x+sec2x-2.
因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即
sin x+tan x-2x>0,
也就是 sin x+tan x>2x.
4)设, 则f(x)在内连续,
.
因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f ¢(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
(5)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在[4, +¥)内连续, 因为
,
所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加.
因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2.
5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？
解 设f(x)=ln x-ax. 则f(x)在(0, +¥)内连续, , 驻点为.
因为当时, f ¢(x)>0, 所以f(x)在内单调增加; 当时, f ¢(x)<0, 所以f(x)在内单调减少. 又因为当x®0及x®+¥时, f(x)®-¥, 所以如果, 即, 则方程有且仅有两个实根; 如果, 即, 则方程没有实根. 如果, 即, 则方程仅有一个实根.
6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:
f(x)=x+sin x .
解 单调函数的导函数不一定为单调函数.
例如f(x)=x+sin x在(-¥,+¥)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上,
f ¢(x)=1+cos x³0,
这就明f(x)在(-¥, +¥)内是单调增加的. f ¢¢(x)=-sin x在(-¥, +¥)内不保持确定的符号, 故f ¢(x)在(-¥, +¥)内不是单调的.

7. 判定下列曲线的凹凸性:
(1) y=4x-x2 ;
(2) y=sh x;
(3)(x>0);
(4) y=x arctan x ;
解 (1)y¢=4-2x, y¢¢=-2,
因为y¢¢<0, 所以曲线在(-¥, +¥)内是凸的.
(2)y¢=ch x, y¢¢=sh x. 令y¢¢=0, 得x=0.
因为当x<0时, y¢¢=sh x<0; 当x>0时, y¢¢=sh x>0, 所以曲线在(-¥, 0]内是凸的, 在[0, +¥)内是凹的.
(3), .
因为当x>0时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, +¥)内是凹的.
(4),.
因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=xarctg x在(-¥, +¥)内是凹的.

8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
(1).y=x3-5x2+3x+5 ;
(2) y=xe-x ;
(3) y=(x+1)4+ex ;
(4) y=ln(x2+1);
(5) y=earctan x ;
(6) y=x4(12ln x-7),
解 (1)y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得.
因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为.
(2)y¢=e-x-xe-x, y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y¢¢=0, 得x=2.
因为当x<2时, y¢¢<0; 当x>2时, y¢¢>0, 所以曲线在(-¥, 2]内是凸的, 在[2, +¥)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2).
(3)y¢=4(x+1)3+ex, y¢¢=12(x+1)2+ex .
因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-¥, +¥)内是凹的, 无拐点.
(4), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得

x
(-¥, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢¢
-
0
+
0
-
y
Ç
ln2
拐点
È
ln2
拐点
Ç

可见曲线在(-¥, -1]和[1, +¥)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).

(5),. 令y¢¢=0得, .
因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是.
(6) y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1.
因为当01时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, 7).
9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:
(1) (x>0, y>0, x¹y, n>1);
(2);
(3) (x>0, y>0, x¹y).
证明 (1)设f(t)=tn, 则f ¢(t)=ntn-1, f ¢¢(t)=n(n-1)t n-2. 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=t n在区间(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y有
,
即 .
(2)设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有
,
即 .
(3)设f(t)=t ln t , 则 f ¢(t)=ln t+1, .
因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y 有
,
即 .
10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上.
证明 , .
令y¢¢=0, 得x1=-1, , .
例表得
x
(-¥. -1)
-1

y¢
-
0
+
0
-
0
+
y
Ç
-1
È

Ç

È
可见拐点为(-1, -1), , . 因为
, ,
所以这三个拐点在一条直线上.
11. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, .
12. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上.
解 y¢=3ax2+2bx+c, y¢¢=6ax+2b . 依条件有
, 即.
解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16.
13. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点.
解y¢=4kx3-12kx, y¢¢=12k(x-1)(x+1). 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
因为在x1=-1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=-1时y=4k, 所以点(-1, 4k)是拐点.
因为y¢(-1)=8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, .
同理, 因为在x1=1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=1时y=4k, 所以点(1, 4k)也是拐点.
因为y¢(1)=-8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, .
因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.
14. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ¢¢(x 0)=0, 而f ¢¢¢(x0)¹0, 试问 (x0, f(x0))是否为拐点？为什么？
解 不妨设f ¢¢¢(x0)>0. 由f ¢¢¢(x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0-d, x0+d), 在此邻域内有f ¢¢¢(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有
f ¢¢(x)-f ¢¢(x0)=f ¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0与x之间),
即 f ¢¢(x)=f ¢¢¢(x)(x-x0).
因为当x0-d0, 所以(x0, f(x0))是拐点.

习题3-5
1. 求函数的极值:
(1) y=2x3-6x2-18x+7;
(2) y=x-ln(1+x) ;
(3) y=-x4+2x2 ;
(4);
(5);
(6);
(7) y=ex cos x ;
(8);
(9);
(10) y=x+tan x .
解 (1)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3.
列表
x
(-¥, -1)

-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗
17极大值
↘
-47极小值
↗
可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47.
(2)函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-10时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.
(3)函数的定义为(-¥, +¥),
y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4,
令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1.
因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.
(4)函数的定义域为(-¥, 1],
,
令y¢=0, 得驻点.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值.
(5)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为.
(6)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为x1=0, x2=-2.
列表
x
(-¥, -2)
-2
(-2, 0)
0
(0, +¥)
y¢
-
0
+
0
-
y
↘
极小值
↗
4极大值
↘
可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4.
(7)函数的定义域为(-¥, +¥).
y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-e xsin x.
令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为, 所以是函数的极大值.
因为y¢¢, 所以是函数的极小值.
(8)函数的定义域为(0, +¥),
.
令y¢=0, 得驻点x=e .
因为当x0; 当x>e时, y¢<0, 所以为函数f(x)的极大值.
(9)函数的定义域为(-¥, +¥), , 因为y¢<0, 所以函数在(-¥, +¥)是单调
减少的, 无极值.
(10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为y¢=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值.

2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac<0 那么这函数没有极值 .
证明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a¹0. 于是配方得到
y¢=3a x2+2b x+c,
因3ac-b2>0, 所以当a>0时, y¢>0; 当a<0时, y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值.
3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x.
要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 .
当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为.
4. 求下列函数的最大值、最小值:
(1) y=2x3-3x2 , -1£x£4;
(2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ;
(3), -5£x£1.
解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80,
经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80.
(2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y¢=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11,
经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11.
(3), 令y¢=0, 得. 计算函数值得
, , y(1)=1,
经比较得出函数的最小值为, 最大值为.
5. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.
解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.
比较函数值:
f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47,
函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.
6. 问函数(x<0)在何处取得最小值？
解 , 在(-¥, 0)的驻点为x=-3. 因为
, ,
所以函数在x=-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x=-3处取得最小值, 最小值为.
7. 问函数(x³0)在何处取得最大值？
解 . 函数在(0, ¥)内的驻点为x=1.
因为当00; 当x>1时y¢<0, 所以函数在x=1处取得极大值. 又因为函数在
(0, +¥)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=.
8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解 设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20-2x, 于是面积为
S= xy=x(20-2x)=20x-2x2.
S ¢=20-4x=4(10-x), S ¢¢=-4.
令S ¢=0, 得唯一驻点x=10.
因为S ¢¢(10)-4<0, 所以x=10为极大值点, 从而也是最大值点.
当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.
9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V, 问底半径r和高h等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面积为
S=2p r2+2p rh(0小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1.
10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
解 设矩形高为h , 截面的周长S, 则, . 于是
(),
.
令S ¢=0, 得唯一驻点.
因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点.
因此底宽为时所用的材料最省.
11. 设有重量为5kg的物体, 置于水平面上, 受力F的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数m=025, 问力F与水平线的交角a为多少时, 才可使力F的大小为最小？
解 由F cos a =(m-Fsin a)m 得
(),
,
驻点为 a = arctan m.
因为F 的最小值一定在内取得, 而F 在内只有一个驻点a = arctan m,
所以a=arctan m一定也是F 的最小值点. 从而当a=arctan0.25=14°时, 力F 最小.
12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有
, 即.
,
驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知, F的最小值一定在(0, +¥)内取得, 而F在(0, +¥)内只有一个驻点x=1.4, 所以F 一定在x=1.4m处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m.
13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？
解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为
l=R×j, , .
漏斗的容积为
(0<2p).
，驻点为.
由问题的实际意义, V 一定在(0, 2p)内取得最大值, 而V 在(0, 2p)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当j 时, 漏斗的容积最大.

14. 某吊车的车身高为1.5m, 吊臂长15m, 现在要把一个6m宽、2m高的屋架, 水平地吊到6m高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？

解 设吊臂对地面的倾角为j时, 屋架能够吊到的最大高度为h. 在直角三角形DEDG中
15sin j=(h-1. 5)+2+3tan j,
故 ,
.
令h¢=0得唯一驻点°.
因为, 所以j=54°为极大值点, 同时这也是最大值点.
当j=54°时, m.
所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高, 现只要求水平地吊到6m处, 当然能吊上去.
15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？
解 房租定为x元, 纯收入为R元.
当x£1000时, R=50x-50´100=50x-5000, 且当x=1000时, 得最大纯收入45000元.
当x>1000时,
,
.
令R¢=0得(1000, +¥)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800.
因此, 房租定为1800元可获最大收入.

习题3-6
描绘下列函数的图形:
1. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
,
令y¢=0, 得x=-2, x=1; 令y¢¢=0, 得x=-1, x=1.
(3)列表
x
(-¥, -2)
-2
(-2, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢
-
0
+
+
+
0
+
y¢¢
+
+
+
0
-
0
+
y=f(x)
↘È

极小值
↗È

拐点
↗Ç
2
拐点
↗È
(4)作图:

2. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x³0时函数的图形.
(3), ,
当x³0时, 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得x=0 .
(4)列表
x
0
(0, 1)
1
(1, )

(, +¥)
y¢
+
+
0
-
-
-
y¢¢
0
-
-
-
0
+
y=f(x)
0
拐点
↗Ç
极大值
↘Ç

拐点
↘È
(5)有水平渐近线y=0;
(6)作图:

3. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, .
(3)列表
x

1

y¢
+
+
+