第一章导数及其应用测试题(含答案).doc

第一章导数及其应用测试题
一、 选择题
1．设，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．设，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．不存在
4．曲线在点处的切线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象与轴有三个不同交点，，且在，时取得极值，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．不确定
6．在上的可导函数，当取得极大值，当取得极小值，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．

7．函数在区间的值域为（ ）．
A． B． C． D．
8．积分（ ）．
A． B． C． D．
9．由双曲线，直线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．
Ａ．　　　　　Ｂ． Ｃ．　　 　　　D．
二、填空题
13．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则_________ 。
14．一点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移是，那么速度为零的时刻是_______________。
16． ____________。
三、解答题
（17）（本小题满分10分）
已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围。

（18）（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
(1)讨论和是函数的极大值还是极小值;
(2)过点作曲线的切线,求此切线方程.

（19）（本小题满分14分）
设，求函数的最大值和最小值。

（20）（本小题满分12分）
用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？

(21) （本小题满分12分）
直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两个部分,求的值.

第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
B
C
A
A
B
B
A
C

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

（13）、 （14）、 （16）、

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分10分）
解：由题意知：，则
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （3分）
∵在区间上是增函数，∴
即在区间上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分）
设，则，于是有

∴当时，在区间上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）
又当时， ，
在上，有，即时，在区间上是增函数
当时，显然在区间上不是增函数
∴ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
（18）（本小题满分12分）
解：（1），依题意，
，即 解得 ┅┅ （3分）
∴，∴
令，得
若，则
故在上是增函数；
若，则
故在上是减函数；
所以是极大值，是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
（2）曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为，则
由知，切线方程为
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分）
又点在切线上，有
化简得 ，解得
所以切点为，切线方程为 ┅┅┅┅┅┅ （12分）
（19）（本小题满分14分）
解：
令，得： ┅┅┅┅┅┅┅ （2分）
当变化时，的变化情况如下表：

－

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴极大值为，极小值为
又，故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
最大值与有关：
（1）当时，在上单调递增，故最大值为：
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）
（2）由，即：，得：
，∴或
又，∴或 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
∴当时，函数的最大值为： ┅┅ （12分）
（3）当时，函数的最大值为：
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14分）
（20）（本小题满分12分）
解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则
由，所以

∴，令得 ┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
易知：是函数的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。
∴当时，容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）
把代入，得
由得
即圆心角时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
答：扇形圆心角时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅ （12分）
(21) （本小题满分12分）
解：解方程组 得：直线分抛物线的交点的横坐标为
和 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）
抛物线与轴所围成图形为面积为
┅┅┅┅┅ （6分）
由题设得

┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
又，所以，从而得： ┅┅┅┅┅ （12分）

第 6 页