初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版.doc

动点问题专题训练
1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
A
Q
C
D
B
P
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

1.解：（1）①∵秒，
∴厘米，
∵厘米，点为的中点，
∴厘米．
又∵厘米，
∴厘米，
∴．
又∵，
∴，
∴． （4分）
②∵， ∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒． （7分）
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）

x
A
O
Q
P
B
y
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；

（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

2.解（1）A（8，0）B（0，6） 1分
（2）

点由到的时间是（秒）
点的速度是（单位/秒） 1分
当在线段上运动（或0）时，
1分
当在线段上运动（或）时，,
如图，作于点，由，得， 1分
1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3） 1分
3分

A
C
B
P
Q
E
D
图16
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

5.解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
A
C
B
P
Q
E
D
图4
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】

O
E
C
B
D
A

l
O
C
B
A
（备用图）

6如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；
②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．

6.解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2.
∴AO= . ……………………8分
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分

A
D
C
B
M
N

7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时为等腰三角形．

7.解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴ 1分
在中，
2分
在中，由勾股定理得，
∴ 3分
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知，当、运动到秒时，
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得， 6分
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即
∴ 7分
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M

N
H
E

②当时，如图④，过作于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在中，
又在中，
∴
解得 8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：（方法同②中解法一）
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F

解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

10.解：（1）正确． （1分）
A
D
F
C
G
E
B
M
证明：在上取一点，使，连接． （2分）
．，．
是外角平分线，
，
．
．
，，
．
（ASA）． （5分）
． （6分）
（2）正确． （7分）
证明：在的延长线上取一点．
A
D
F
C
G
E
B
N
使，连接． （8分）
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
（ASA）． （10分）
． （11分）

11已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．
x
y
B
O
A
（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；

11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为. 4分

x
y
B
O
A
（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；

（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即 6分
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为. 7分

（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
x
y
B
O
A

（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得. 9分
在中，
设，则.
由（Ⅱ）的结论，得，
解得.
点的坐标为. 10分

12图（1）
A
B
C
D
E
F
M
N
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当CE/CD=1/2时，求AM/BN的值．

方法指导：
为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2

类比归纳
在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
图（2）
N
A
B
C
D
E
F
M
如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）

12解：方法一：如图（1-1），连接．
N
图（1-1）
A
B
C
D
E
F
M

由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
∴垂直平分．∴ 1分
∵四边形是正方形，∴
∵设则
在中，．
∴解得，即 3分
在和在中，
，
，
5分
设则∴
解得即 6分
∴ 7分
方法二：同方法一， 3分
如图（1－2），过点做交于点，连接
N
图（1-2）
A
B
C
D
E
F
M
G

∵∴四边形是平行四边形．
∴
同理，四边形也是平行四边形．∴
　　　∵

　　　在与中
　　　∴ ５分
∵ 6分
∴ 7分

12..如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出出当t为何值时，① PD＝PQ，② DQ＝PQ ？

类比归纳
（或）；； 10分
联系拓广
12分

解1：依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t。过点Q作QF⊥BP,又
∵AQ‖BF, ∴∠ABP=90° ∴四边形AQFB是矩形
∴AQ=BF=t ∵BP=2t ∴FP=t, ∴在Rt△QFP中,QP=√(12²+t²)
又∵QD=QP=PD ∴√(12²+t²)=16-t ∴12²+t²=16²-2*16*t+t²
∴解得:t=7/2

解2：如图所示，

:这P作PE垂直AD于E,垂足为E点,则ABPE为矩形.PE=AB=12;AE=BP
(1).s=1/2×AB×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;
(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO为平形四边形.
(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED时,PE为QD的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;
.②在Rt△PEQ中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t; PQ²=QE²+PE²=t²+12²;
QD²=(AD-AQ)²=(16-t)²; 所以当t²+12²=(16-t)²,即:t=3.5时,DQ=PQ;

解：因为∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20√3
所以可求出AB＝40
如图，圆心从A向B的方向运动时，共有三个位置能使此圆与直线AC或直线BC相切
当圆心在O1点时，设切点为P
显然PO1＝6，∠APO1＝90°，∠AO1P＝30°
所以AO1＝4√3
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t1＝4√3/2＝2√3（秒）时，圆O与直线AC相切
当圆心在O2点时，设切点为Q
显然QO2＝6，∠BQO2＝90°，∠QBO2＝30°
所以BO2＝12，AO2＝40－12＝28
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t2＝28/2＝14（秒）时，圆O与直线BC相切
当圆心在O3点时，设切点为R
显然RO3＝6，∠BRO3＝90°，∠RBO3＝30°
所以BO3＝12，AO3＝40＋12＝52
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t3＝52/2＝26（秒）时，圆O与直线BC相切
综上所述，当圆O运动2√3秒、14秒、26秒时与△ABC的一边所在的直线相切.