小五数学第13讲：质数和合数(教师版).doc

第十三讲 质数和合数

1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
注： ① 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
2、100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
3、常见最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
A的最大因数是：本身； 最小的偶数是：0；
A的最小倍数是：本身； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图
例：

分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3
5、用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：

分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：

6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
7、两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；

教学重点：质数和合数的概念。
教学难点：正确判断一个常见数是质数还是合数。

1.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.
答案：420
解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是2021=420.
2. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.
□+□+□=50
答案：2、5、43
解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50
另外,还有
2+19+29=50
2+11+37=50
[注]填法不是唯一的.如也可以写成
41+2+7=50
3. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.
答案：11,12,13
解析：将1716分解质因数得
1716=2231113
=11(223)13
由此可以看出这三个数是11,12,13.
4. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.
答案：88
解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.
1992=222383
所以1992所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是
2+3+83=88.
5. 把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.
解析：先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.
14=72 20=225
21=37 28=227
30=235 7
从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7.
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20
且72830=142120=5880满足要求.
[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.
先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.
14=72 20=225
21=37 28=227
30=235 7
从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7.
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20

且72830=142120=5880满足要求.
[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.
6. 学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?
解析：把1430分解质因数得
1430=251113
根据题目的要求,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之间，于是得三种答案：
（1）2511=110；
（2）2513=130；
（3）1113=143.
所以,有三种分法:一种是分为13队,每队110人；二是分为11队，每队130人；三是分为10队，每队143人.

A

1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.
答案： 99
解析：100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.
2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.
答案：3,3,5,8
解析：根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:360=222533
所以,这四个数是3,3,5和8.
3. 把232323的全部质因数的和表示为,那么ABAB=_____.
答案：1992
解析：依题意,将232323分解质因数得
232323=2310101
=23371337
从而,全部不同质因数之和
=23+3+7+13+37=83
所以,AB=8383=1992.
4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.
答案：36岁
解析：根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合.
1620=2233335
=91215
所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁)
5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.
答案：83,24
解析：先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合
1992=222383
=2483
24+83=107
所以,这两个数分别是83和24.
B

6.如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.
答案：14
解析：根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.
4875=355513
=(313)(55)5
=(3925)5
由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.
7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.
答案：15
解析：解法一
因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得:
255=3517
=35(15+2)
=152+1515
所以,这个数是15.
解法二
依题意,原数的2倍+0+原数原数+1=256,即
原数的2倍+原数原数=256-1
原数的2倍+原数原数=255
把255分解质因数得
255=3517
=15(15+2)
=152+1515
所以,这个数是15.
8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.
答案：21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.
解析：先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:
21=37 22=211
34=217 39=313
44=2211 45=335
65=513 76=2219
133=719 153=3317
由此可见,这10个数中质因数共有6个26个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:
第一组数是:21、22、65、76、153；
第二组数是:34、39、44、45、133.
[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):
把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.
答案是如下分法即可:
第一组：20，33，91；
第二组：44，35，39；
第三组：26，42，55.
9. 有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.
答案：12
解析：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除.
因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
90A
109
156
185
209
309
409
458
509
609
709
809
909

10,15
18
20
30
40,45
50
60
70
80
90
90A=2325A
所以,符合条件的两位数共12个.
10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.
答案：14；3岁，3岁，8岁
解析：因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是
72=1612=189
=2312=249
=266=338
=346
三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2岁、6岁、6岁；或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.
C

11． 甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?
解析：因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.
12. 下面有3张卡片 3 2 1 ，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数.  把所得数中的质数写出来.
解析：从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、2、3，其中只有2、3是质数.
从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13,23,31.
因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.
故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.
[注]这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.
13. 在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
解析：100以内所有奇数之和是
1+3+5+…+99=2500，
从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和
71+3+…+13)+11(1+3+…+9)
=618，
最后再加上一个711=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为
2500-618+77=1959.
[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数711,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有711的1倍,3倍,…也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.
14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.
解析：依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
而甲、乙5箭总环数的积17640,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0和10.
而1764=1223377是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数
1，2，2，3，3
经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：
（1）1，4，9；
（2）1，6，6；
（3）2，2，9；
（4）2，3，6；
（5）3，3，4．
因此，两人5箭的环数有5种可能：
7，7，1，4，9 和是28；
7，7，1，6，6 和是27；
7，7，2，2，9 和是27；
7，7，2，3，6 和是25；
7，7，3，3，4 和是24。
∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少.
∴甲的总环数是24,乙的总环数是28.
15. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?
解析：由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(加瓶)共重
(8+9+10+11+12+13)3=21(千克)
而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有
(1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2=12(千克).
(2)油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2=(千克),这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.

1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.
答案： 9，1，2
解析： 在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.
在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1.
又在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2.
2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.
答案： 202
解析： 最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2101=202.
3. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.
答案：210
解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2357=210
4. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.
答案：192
解析：先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答
9216=22…233
10个
=9696
欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为96+96=192.
5. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.
答案：36
解析：如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.
108(cm2)
平方分米

3分米
108=22333
=129
由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是
123=36(平方分米)

一、填空
　　1．最小的质数是（　　　　），最小的合数是（　　　　），最小的奇数是（　　　　）。
　　答案：2，4，1。
2．20以内的质数有（　　　　）。
　　答案：2、3、5、7、11、13。
　二、判断
3．48的全部因数是2、3、4、6、8、12、16、24和48，共有9个，所以是合数。(　　　)
　　答案：错误
4．任何一个自然数最少有两个因数。(　　)
　　答案：错误
5．一个数如果能被11整除，则这个数一定合数。(　　)
　　答案：错误
　　6．一个自然数越大，它的因数个数就越多。(　　　　)
答案：错误
　 三、解析题
7. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.
答案：31
解析：这10个质数之和是598,分成两组后,每组五个数之和是5982=299.
在有79这组数中,其他四个质数之和是299-79=220,个位数是0,因此这四个质数的个位数可能有三种情形:
(1)三个1和一个7；
(2)二个3和二个7；
(3)三个3和一个1.
31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有47,情形(1)被否定.
17+67=84,220-84=136,个位数为3有23,53,83,只有53+83=136,因此从情形(2)得到一种分组:17,53,67,79,83和23,31,41,101,103.
所以,含有101这组数中,从小到大排列第二个数是31.
[注]从题目本身的要求来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形(3)还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262,262-220=42, 我们能否从53,83,103中找出一个数,用比它少42的数来代替呢?
53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有11和61,只有41.又得到另一种分组:
23,41,53,79,103和17,31,67,83,101.
由此可见,不论哪一种分组,含101这组数中,从小到大排列,第二个数都是31.
8．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?
答案： 77
解析： 由于长+宽是 362=18
将18表示为两个质数和 18=5+13=7+11
所以长方形的面积是 513=65或711=77
故长方形的面积至多是77平方单位.