理科数学概率题型归纳与练习.doc

概率统计
一． 离散型随机变量的期望(均值)和方差
若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：

…

…

1. 其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．
数学期望 =
性质 （1）；（2）．（为常数）
2. ，（其中）刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或．
方差
2．方差公式也可用公式计算．
3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即．
例1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX，DX。
X
－1
0
1
P

二、几何分布
几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球再放回，取出白球或取了4次后则停止摸球。求取球次数X的数学期望与方差。

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望与方差。
三．超几何分布
对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：

…

…

其中网高考资源网
一般地，若一个随机变量的分布列为，
其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将记为．
一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．

例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，
（1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
（2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．

例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

四．二项分布
1．次独立重复试验
一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）次独立重复试验中事件恰好发生次的概率。
2．二项分布
若随机变量的分布列为，其中则称服从参数为的二项分布，记作。
一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E(X)=np。
例1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。

例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

例3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；
（2）求乙至多击中目标2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

五、正态分布
例1、已知随机变量（　　）
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
例2、设随机变量(3,1),若,,则P(22,3)的图象如图所示，则(　　)

A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
六、直方图、列联表、线性回归
例1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．

例2、电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

合计

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附K2＝，
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635

例3、重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到周卓婷同学的某些成绩数据如下：

第一次考试
第二次考试
第三次考试
第四次考试
数学总分
118
119
121
122
总分年级排名
133
127
121
119
(1)求总分年级名次关于数学总分的线性回归方程＝x＋．
(2)若周卓婷同学想在下次的测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分(取整数可四舍五入)．

例4、设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
例5、已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7

已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为(　　)
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
例7、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
【巩固练习】
1、下列命题:
`(1);
(2)不等式恒成立,则;
(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则
(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.
2、由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望EX).

2．(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ) 求甲获胜的概率;
(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

3．设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．

3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.

5. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布.
(1)每次取出的产品不再放回去；
（2）每次取出的产品仍放回去；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（II）求ξ的分布列和数学期望；

8.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元），求随机变量的分布列和数学期望.

9. (本题满分12分)中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）
湖北理工学院
湖北师范学院
9
9
6　5　0
7　2
1
15
16
17
18
19
8　9
1　2　5　8　9
3　4　6
0　1

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1

且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
巩固练习答案
【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).
解析：选B　x0，y0为这10组数据的平均值，又因为回归直线＝x＋必过样本中心点(，)，因此(x0，y0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(，)．
【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.
(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6.
; ;
; .
故,所求X的分布列为
X
3
4
5
6
P

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为:
E(X)=.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.
解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则
,,
(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,

(2)的所有可能为:
由独立性知:

综上知,有分布列

1
2
3

从而,(次)
3. 解：（1）事件“”表示，胜场或胜场（即负场或负场），且两两互斥．
；
（2）事件“”表示，在第5场中取胜且前场中胜3场，或在第5场中取胜且前场中胜3场（即第5场负且场中负了3场），且这两者又是互斥的，所以

（3）类似地，事件“”、 “”的概率分别为
，

比赛场数的分布列为

4
5
6
7

故比赛的期望为（场）
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．

4.【答案及解析】
(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意,
,从而X的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，
该选手被淘汰的概率

．
（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，．
该选手被淘汰的概率

．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为

1
2
3

．
6.（1）X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为
P(X=1)=7/10，
P(X=2)=3/10×7/9=7/30，
P(X=3)3/10×2/9×7/8=7/120，
P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。
（2）X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为
P(X=k)= ，k=1，2，3，……
（3）X的所有可能值为1，2，3，4。X的分布列为
P(X=1)=7/10，
P(X=2)=3/10×8/10=6/25，
P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500，
P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。

7. 解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，
满足条件的事件是使方程有实根，则△=b24c≥0，即b≥
下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2
根据第一问做出的结果得到
则P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= =，P(ξ=2)= ，
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=1，

8.设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则. ………………3分
（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
………………4分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ………………5分
…………10分
所以，随机变量的分布列为：

0
30
60
90
120

…………11分

其数学期望
…………12分

9、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：.…2分
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，
按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为人，“非高个子”为人；
则至少有1人为高个子的概率＝1－……6分
（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值为0,1，2,3；
故，，，，
即的分布列为：

0
1
2[来源:Z+xx+k.Com]
3

＝0＋1＋2＋3＝。
答：（略） ………………12分

10. 解：（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：

3
4
5
6
7
8

0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：

3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。
11. （I）首次出现故障发生在保修期内的概率为
（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为

（III）(万元)
(万元)
所以应该生产甲品牌汽车。