二次根式的概念及性质一对一辅导讲义.doc

教学目标
1、了解二次根式的概念；
2、了解二次根式的四个性质，并会用二次根式的性质将简单二次根式化简；
3、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
重点、难点
1、二次根式的概念；理解二次根式的几个性质与利用性质进行运算
2、能灵活运用二次根式性质进行有关化简和计算
考点及考试要求
二次根式的概念及性质
教 学 内 容
第一课时 二次根式的概念及性质知识梳理
知识回顾

1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
2、什么叫算术平方根?
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用表示
讨论并解释：为什么a≥0 ？
3、课堂讲解
做一做：课本P 4 的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
象 , , 这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式叫做二次根式。
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式，如。
根据算术平方根的意义，二次方根式根号内字母的取值范围必须满足大于等于零。

知识梳理

（1）平方根与立方根
a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。用表示。
例如：因为
b. 算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方根为0。用表示a的算术平方根。
例如：3的平方根为，其中为3的算术平方根。
c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，用表示。
例如：因为。
d. 平方根的特征：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e. 立方根的特征：
①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。
（2）二次根式
a. 二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式≥0）。
b. 二次根式的基本性质：
①≥0（a≥0） ②
③
④
⑤

第二课时 二次根式的概念及性质典型例题
典型例题

题型一：二次根式的定义
例1.在式子，中，是二次根式的有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

变1.①下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
②在、、、、中是二次根式的个数有______个
题型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2.当取什么实数时，下列各式有意义?
⑴； 　　　⑵；
⑶； ⑷；
⑸；　　　　　⑹．

变2.①若是二次根式,则字母a应满足的条件是( )
A. B. C. D.
②（1）当a满足__________时, 有意义.
（2）当有意义时,a的取值范围是_________________.
③若有意义,则x的取值范围是____________.
④使式子有意义且取得最小值的x的取值是( )
A.0 B.4 C.2 D.不存在.
题型三：求二次根式的值
例3.当x=-2时,二次根式的值为_______.

变3.当时，代数式的值是　　　　。
题型四：二次根式的整数部分与小数部分
例4.已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。

变4.①若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
②若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

题型五：二次根式的性质
例5.已知，求的值．

变5.①若，则的值为 。
②已知为实数，且，则的值为（ ）
A．3 B．– 3 C．1 D．– 1
③已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为 .
④若与互为相反数，则。
例6.化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

变6.①在实数范围内分解因式: = ；=

②化简：

例7.已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、

变7.①根式的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3　 D．9
②已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
③若，则等于（ ）
A. B. C. D.
④若a－3＜0，则化简的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
例7.如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a

变8.实数在数轴上的位置如图所示：化简：．
例9.化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

变9.若代数式的值是常数，则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
例10.如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

变10.①如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）

②若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
例11.化简二次根式的结果是（ ）
（A） (B) (C) (D)

变11.①把二次根式化简，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
②把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝ ；＝ 。

第三课时 二次根式的概念及性质课堂检测
课堂检测

1. 要使式子有意义，则应满足（ ）
A、且 B、 C、 D、且
2. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示：

则化简|a－c|－＋|b＋c|的结果是（ ）
A. －2b B. －2c C. －2a＋2b D. 0
3.式子是二次根式的条件是_______.
4.函数的自变量的取值范围是 ．
5. 已知，则代数式的值为________.
6. 当 时，二次根式在实数范围内有意义.
7. 绝对值不大于的整数为　　　　　　．
8. 计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）

9. 若，求的值.
10. 若，求的值．

11.在，，，中，是二次根式的有　　　　　．
12.如果是二次根式，则的取值范围是　　　　　　．
13.如果是二次根式，则的取值范围是　　　　　　．
14.已知一个圆形花坛的面积是50，则它的半径等于　　　　（保留2个有效数字）．
15.计算：= ；　　　＝　　　　 ；＝　　　；
＝　　　；　　　－＝　　　　；　＝　　　　．
16.当　　　　　时，
17.一个等边三角形的边长为4，则这个等边三角形的面积为 。
18. 若，且，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19. 若，化简的结果为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
20. 如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB＝60m，AC＝20m。请你求出A、B两点间的距离。

21. 是二次根式，则的取值范围是（　　　）
（A）的实数　（B）的实数　（C）的实数　（D）且
22.如果是二次根式，则、应满足的条件是（　　　）
（A）且　（B）且　（C）、同号　（D）、异号
23.如果是任意实数，则＝（　　　）
（A）　　　（B）－　　（C）　　　（D）
24.如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它的地面是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长．

25. 若代数式＝2成立，求的取值范围。

26. 一艘轮船先向正东方向航行2小时，再向西北方向航行 t小 时。船的航速是每小时25千米。试用关于 t 的代数式表示船离出发地的距离；