2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析.doc

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设，则　　
A．2 B． C． D．1
2．（5分）已知集合，2，3，4，5，6，，，3，4，，，3，6，，则　　
A．， B．， C．， D．，6，
3．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是　　

A． B． C． D．
5．（5分）函数的图象在，的大致为　　
A．
B．
C．
D．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　　
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．（5分）　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入　　

A． B． C． D．
10．（5分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
11．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（5分）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．
14．（5分）记为等比数列的前项和，若，，则　　．
15．（5分）函数的最小值为　　．
16．（5分）已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
18．（12分）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
19．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．

20．（12分）已知函数，为的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若，时，，求的取值范围．
21．（12分）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．
（1）若在直线上，求的半径；
（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【解答】解由，得．
故选：．
【解答】解：，2，3，4，5，6，，，3，4，，，3，6，，
，6，，
则，
故选：．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为，
说明头顶到咽喉的长度小于，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度小于，
即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于，
可得头顶至肚脐的长度大于，
即该人的身高大于，
故选：．
【解答】解：，，，
，
为，上的奇函数，因此排除；
又，因此排除，；
故选．
【解答】解：：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
系统抽样的分段间隔为，
号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为，则，
当时，，即在第62组抽到616．
故选：．
【解答】解：
．
故选：．
【解答】解：，

，

，
，
．
故选：．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
，；
满足条件，执行循环体，，；
满足条件，执行循环体，，；
此时，不满足条件，退出循环，输出的值为，
观察的取值规律可知图中空白框中应填入．
故选：．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，
则，
，
得，
．
故选：．
【解答】解：的内角，，的对边分别为，，，
，，
，
解得，
．
故选：．
【解答】解：，，
又，，
又，，
，，
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．
．
所以椭圆的方程为：．
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【解答】解：，
，
当时，，
在点处的切线斜率，
切线方程为：．
故答案为：．
【解答】解：等比数列的前项和，，，
，，
整理可得，，
解可得
则．
故答案为：
【解答】解：，
，
令，则，
的开口向上，对称轴，在，上先增后减，
故当即时，函数有最小值．
故答案为：
【解答】解：，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，
过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，
连结，，则，
，
．
到平面的距离为．
故答案为：．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率，
女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）由题意可知，，
故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：．．
【解答】证明：（1）直四棱柱的底面是菱形，
，，，，，分别是，，的中点．
平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，0，，，0，，，，，，，，
，，，，，
设平面的法向量，，，
则，
取，得，0，，
，平面，
平面．
解：（2），，
平面的法向量，0，，
点到平面的距离：
．

【解答】解：（1）证明：，

，
令，
则
，
当时，，
当时，，
当时，极大值为，
又，，
在上有唯一零点，
即在上有唯一零点；
（2）由（1）知，在上有唯一零点，
使得，
且在为正，
在，为负，
在，递增，在，递减，
结合，，
可知在，上非负，
令，
作出图示，
，
．

【解答】解：故点，且在直线上，
点在线段的中垂线上，
设的方程为：，则
圆心到直线的距离，
又，在中，
，
即①
又与相切，②
由①②解得或，
的半径为2或6；
（2）线段为的一条弦，圆心在线段的中垂线上，
设点的坐标为，则，
与直线相切，，
，
，
的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，

，
当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，
存在定点使得当运动时，为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解答】解：（1）由为参数），得，
两式平方相加，得，
的直角坐标方程为，
由，得．
即直线的直角坐标方程为得；
（2）设与直线平行的直线方程为，
联立，得．
由△，得．
当时，直线与曲线的切点到直线的距离最小，为．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解答】证明：（1）分析法：已知，，为正数，且满足．
要证（1）；因为．
就要证：；
即证：；
即：；

；
，，为正数，且满足．
；；恒成立；当且仅当：时取等号．
即得证．
故得证．
（2）证成立；
即：已知，，为正数，且满足．
为正数；为正数；为正数；
；
当且仅当时取等号；即：时取等号；
，，为正数，且满足．
；；；
当且仅当，；时取等号；即：时取等号；
；
当且仅当时取等号；
故．得证．
故得证．

第20页（共20页）