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浅谈小学数学课堂教学中错误资源的有效利用
松江区泗泾第二小学 杨玉岗
【摘要】对待错误，有人惧怕错误，认为错误毫无价值；有人直面错误，在反思错误中总结经验教训迅速成长。小学数学教学中，师生互动过程中时常会产生错误，如何有效利用这些错误资源来为教学服务越来越受到一线教师的关注。本文试图按照什么是数学错误资源，错误资源的利用情况，使用错误资源有何意义以及错误资源有效利用策略的逻辑体系阐明问题，并结合个人教学实践谈谈对小学数学错误资源有效利用的点滴体会。
【关键词】 错误资源 有效利用 认知结构 有效教学
一、错误资源的界定
小学生由于受生理、心理发育水平的限制常常对所学知识产生片面的或不完全正确的认识，因而在实际教学中学生出现错误在所难免。依据学生所犯的错误，我们可以将学生的错误分成合理性错误和非合理性错误。合理性错误是指虽然学生的回答不完全正确，但是在这一回答中包含合理性的因素，教师通过对合理性因素的深入思考和挖掘，可以引导学生从本质上加深对所学知识的认识。非合理性的错误是指学生由于在课堂上不注意听讲、粗心等原因而导致的回答问题不正确的现象。本文所指的错误资源是指师生互动过程中（包括课堂上的师生交流、对话，学生的作业……）所产生的不正确但是有合理因素的错误。
二、错误资源利用现状
受传统课堂评价标准的影响，教师对待学生的错误处理方式有：①要么避而不见。②要么一味指责批评，“这些题目讲了多少遍还记不住，心思都用到哪里去了？”。③要么请出错的同学先坐下，让班级的优等生把正确答案展示一遍。④要么老师亲自上阵对学生的错误寥寥几句评价，草率收场。长此以往，学生对待错误就会显得无动于衷，很少会去反思错误形成的原因，也不善于从自己和他人的错误中吸取教训。因而这样的“经典剧情”每天都在上演：学生在订正题目时，老师批“×”的题目直接改成与原判断相反的判断，根本不知所以然，下次再出现类似的题目还是出错。这些现象都在警示教师要以高度的专业自觉审视学生的错误，敏锐地分析出学生错误背后所隐藏的教育价值。
三、错误资源有效利用的意义
美国教育家杜威曾说过：“失败是有教导性的，真正懂得思考的人，他从失败和成功中学到的一样多，甚至是更多。”上海市北郊学校校长郑杰也在《给教师的一百条新建议》中写道：“什么是真正的学习？在这个学习过程中，人们往往不是一下子就掌握了真理，而是从犯错误的深刻教训中，获得许许多多比知识本身更精彩的体验。”学生的学习活动本身就是不断尝试---反思----调整的过程，教师要以平和的心态接纳学生的错误，积极营造宽容、和谐的课堂学习氛围，使学生敢于发表自己的意见，充分暴露自己的思维过程，在全体师生共同参与的良性互动中共同辨析问题的真伪。
由教育部制定的2011年版《数学课程标准》指出：“要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”《上海市中小学数学课程标准》也指出：“教师要积极利用各种教育资源实施有效教学。”当下上海正在深入推进“二期课改”，现实的学习中学生必然会产生许多始料未及的错误。我们在教学过程中必须清醒地意识到：错误是学生数学思维的真实展现，教师要及时捕捉日常教学中有价值的错误资源，充分地利用这些资源实施有效教学。
四、错误资源有效利用的策略
1、出现错误时，包容错误----暴露学生思维
著名特级老师华应龙曾在多个场合谈及他个人的教学主张：教育即融错。实际教学中，老师和学生都会发生错误，关键是我们能不能以包容的心态，深入思考错误产生的根源，充分利用这些资源让学生在经历“自我否定”的过程之后建构正确的认知结构。师生间的交流、互动一个错误也没有，那么我们首先应思考的是这样的教学是否真实，这样的教学有无必要。真正精彩的课堂，不是“一帆风顺”毫无差错的课堂，而是“以错而究”深刻探讨的课堂。
【案例1】在学习了《商不变性质》之后，出示一练习：150×25。班级有一部分学生解题过程如下：

师：估一估，这一题的结果？生1:150×30=4500 生2:200×25=5000 生3:200×30=6000 师：上面的结果正确吗？生：差距太大，不对。师对做错的同学提问：你是怎么想的？生：运用商不变性质。师：在什么运算中才会出现商。生支支吾吾：除法。师顺势强调：只有在除法运算中，我们才可以使用商不变性质。师：那么这一题应该怎样简算？生自由发表意见。最后师追问：上面一题怎样改动就可以使用商不变性质。生：将150×25改成150÷25。
小学生的解题思路和策略容易受当前教学内容的影响，往往不能把握概念的本质属性，对形式相似、结构相近的数学问题容易产生混淆。上述案例中学生将《商不变性质》的强认知因素：两个数同时乘或除以一个数（0除外），负迁移到了这一题中，忽略了商不变性质使用的前提条件，造成“误解”。学生出现这样的错误，教师并没有急于让成绩优秀的学生包办，而是先运用估算策略使全体学生认识到上面解题过程是错误的，然后老师和出错的学生一起来分析错误的来龙去脉，帮助学生建立正确的认识，最后老师又有意识地让学生学以致用，最大发挥错误资源的教育功能。
2、没有错误时，预设错误---防患于未然
学习过程中，有些错误随着教学的推进学生会很明显暴露出来，但是还有很多问题隐藏在“幕后”，这就要求老师针对学生学习数学的重点、难点、盲点精心预设并适时呈现错误，引导学生主动识错、纠错，完善认知结构。
【案例2】学习了《长方体、正方体的认识》之后，学生对长方体、正方体的特征已有所了解，为了拓宽学生的视野，培养学生思维的发散性，出示一判断题：有6个面、8个顶点、12条棱的立体图形一定是长方体。师：请判断。生1：还有可能是正方体，所以不正确。生2：老师，正方体也是特殊的长方体，所以我认为是正确的。生3：长方体、正方体都有6个面、8个顶点，12条棱，所以我认为是正确的。师：我非常欣赏各位同学能在独立思考的基础上，发表自己的见解，下面老师揭示答案，多媒体出示：

当棱台展现在屏幕上时，学生恍然大悟：原来如此。也有人形象地说：被切掉尖顶的“金字塔”。师：在数学上它叫棱台，现在你又想说些什么？生：上面这个立体图形也有6个面，8个顶点，12条棱，但它既不是长方体也不是正方体，所以上述判断是错误的。
教育心理学研究表明：“学生从错误中获得的对事物认识远比只从正确的结论中感受要深刻的多”。实际教学中，教师根据教学经验准确把握学生的学情，预先设计学生容易发生错误的典型问题，并提供必要的引导和智力支持，及时消除学生疑惑，这样可以有效避免类似错误的重复发生。
3、主动出击，诱导错误---加深理解
“学起于思，思源于疑”，疑问是思维的“催化剂”。因此，在数学教学中，教师有时还要故意在知识的关键环节处给学生设 “套儿”，诱使学生“误入歧途”，让学生在纠正错误中加深对所学知识的理解。
【案例3】五年级第二学期的《体积与重量》一课，以一块长方体木料为研究对象，以1cm³这种木料的重量为研究问题。在实际教学中，教师围绕上述问题，组织学生展开探究性学习，学生通过称一称木料的重量，量一量木料的长、宽、高，算一算木料的体积，然后凭借已有的学习经验独立解决问题，接着教师引导学生总结解题依据的数量关系：物体的重量÷物体的体积=单位体积物体的重量，最后老师要求学生利用除法关系推导出另外两个关系式： 物体的体积=物体的重量÷单位体积物体的重量，物体的重量=物体的体积×单位体积物体的重量。然而实际教学中，我们常常会忽略这三个数量关系成立的前提：所求物体应该是质量分布均匀的物体。基于以上考虑我设计了一道实际问题：
多媒体出示：
小胖学完本节课自我感觉良好，打算求一个铁桶的重量。他说可以先量出这个铁桶的长、宽、高求出它的体积，再用铁桶体积与单位体积铁的重量相乘，就可以求出这个铁桶的重量。
师：这样解决问题可行吗？大多数学生：可行，因为要求物体的重量，只要用物体的体积乘以单位体积物体的重量就行了。小部分同学：不行，铁桶里面是空的，用小胖的方法求出来的重量是实心铁块的重量，比铁桶的重量要大很多。正、反两方在辩论中渐渐达成一致意见。师：在运用今天所学的关于体积与重量的3个关系式时要注意什么？生：在实心物体的前提下使用。（学生在现有认知水平基础上能意识到这一点已实属不易，师完善：质量分布均匀的物体）
教学中，我们需要不断钻研教材，深入研究学生，在准确把握教材和学生学习心理的基础之上，智慧地安排练习，巧妙而自然地地诱发错误资源，让学生在学习中学会思考，学会批判，这样习得的知识才真实，更持久。
4捕捉时机，巧用错误---培养创新思维。
当代哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。《上海市中小学数学课程标准》也强调：“注重培养学生的创新精神。”因此，当教学中学生出现错误时，教师要能慧眼识真金，及时捕捉错误中的“闪光点”，重视错解中合理成分的提取和激活，给予肯定和欣赏，并给出有建设性的建议，这样往往能唤起学生强烈的探究欲望，激发他们的创新灵感，进而培养学生思维的深刻性、独创性。
【案例4】在教学《可能性的大小》时，教材上安排了一道游戏公平性的问题：

5
4
3
2
1

小亚从盒子里摸一张卡片，如果小亚摸到的卡片上的数字大于3，计小胖赢；否则，计小亚赢。你认为这个游戏公平吗？如果不公平，你觉得怎样才能保证游戏的公平？
（1）、师生共同分析问题。
师：这个游戏公平吗？生:不公平
师：为什么？生：小胖“赢”的情况是小亚抽到数字4、5，抽到数字1、2、3的话是小亚“赢”。很明显，小亚赢的机会大。
师：要保证游戏公平，我们应该制定怎样的游戏规则？
生讨论后反馈：游戏规则要使小胖“赢”的情况的个数和小亚“赢”的情况的个数一样多。
（2）、巧用错误资源，引导学生多角度解决问题。
师：那么你打算设计怎样的游戏规则？
生独立思考后，组内交流，全班探讨。
生1：增加一张卡片6。
师：说说你的理由？生1：这样小亚赢的情况是抽到数字1、2、3，小胖赢的情况是抽到数字4、5、6，他们赢得情况个数就一样了，所以公平。
师：还有不同的想法吗？生2（迫不及待地）：减少一张数字卡片5。过了片刻，班级开始沸腾起来，有人赞成这种方案，也有人认为不可行。
师：首先我们要感谢这位同学为我们提供了另外一种解决问题的思路，听听他是怎样想的？生2：去掉5之后，还剩1～4四张卡片，4张卡片，每个人都有两次机会赢，这样就公平了。马上有学生反驳：剩下1～4四张数字卡片，依据题目规则小胖赢的情况是摸到4，而摸到1、2、3小亚都会赢，小亚赢的可能性大。
师追问：刚才同学们认为这位同学的方案不可行，你能不能顺着他的思路：减少哪一张卡片就可以保证游戏公平呢？不一会，出现了多种解决思路。
方案1：去掉数字卡片1，摸到4、5算小胖赢，摸到2、3算小亚赢。
方案2：去掉数字卡片2，摸到4、5算小胖赢，摸到1、3算小亚赢。
方案3：去掉数字卡片3，摸到4、5算小胖赢，摸到1、,2算小亚赢。
师继续追问：刚才生2建议减少数字卡片5的方案是不可行的，你能通过修改规则使这个方案可行吗？思考片刻，生3：将题目中“小亚摸到的数大于3，计小胖赢”改成“小亚摸到的数大于2，计小胖赢”就公平了，这样摸到3、4小胖赢，摸到1、2算小亚赢。生4补充：按照修改的规则，还可以减少数字卡片4。其他同学也都点头同意。
（3）、梳理思路，提升思维能力。
师：我们在解决这一题时，大家的思路有哪些？
生反馈：1、增加一张数字卡片
2、减少一张数字卡片（师补充包括只减少数字卡片和既减少数字卡片也修改游戏规则）
老师：如果不改变数字卡片的张数，怎样设计？
生5：如果小亚摸到的卡片的数字大于3，计小胖赢；如果小亚摸到的卡片上的数字小于3，计小亚赢。
上述教学中，教师及时捕捉错误资源，让学生深入分析错误原因，充分探讨、交流,激发、引导学生从多个角度提出解决问题的策略，学生在课堂上表现出的思维创造性让教师惊喜不断，收到很好的教学效果。
5、探析根源，及时反思---师生教学相长
用好错误资源不仅仅可以促进学生自我完善知识结构，如果老师对此进行深入反思的话，也可促进教师自身教学的改进，进而达到师生教学相长的良性循环。
【案例5】在学习了《梯形的面积》一课后，一道课后作业难住了不少同学。计算下面阴影部分图形的面积:
8cm
5cm
6cm
3cm

很多学生的解法是：（8+5）×6÷2
=13×6÷2
=78÷2
=39（cm²）
我找了几位同学询问解题思路，得到的回答是：直接运用梯形面积公式。我又问道：为什么高选择6cm而不是3cm？生：老师书上梯形的高是从上面一条边向下面一条边画的。
这一题的错误充分暴露出在梯形相关知识的教学中存在着诸多问题。首先学生为什么简单地将上面的一般四边形认为是梯形？学生没有真正掌握梯形的本质属性：1、它是一个四边形2、一组对边平行，另一组对边不平行。今后的教学中教师应引导学生对梯形的定义：只有一组对边平行的四边形作充分理解。其次，学生为什么认为梯形的高是从上面一条边向下面一条边画的垂线段？除了教科书上的标准范例影响外，教师对教材的解读还不够专业和深刻。在实际教学中，教师可以结合标准梯形先讲清高的定义：从梯形的上底任取一点向下底作垂线，这点和垂足之间的线段就是梯形的高。练习环节老师出示一些非标准位置下的梯形让学生尝试作高。

如:

也可以出示一些判断题，加深学生对梯形高的认识。如：

练习后，老师可及时引导学生总结梯形高的特征：1、它是在梯形上底和下底之间的一条垂线段，不是两腰之间。2、这条线段的起点在上底（下底）上，终点在梯形的下底（上底）上。最后，为什么很多学生用梯形面积公式直接求？我想除了梯形相关概念混乱的原因外，学生发现问题、分析问题、解决问题能力欠缺也是致错的主要原因。如果学生在长期的数学课堂熏陶、积淀下，具有较强的数学素养和解决问题的能力，他们肯定会想到将这个四边形的面积转化成两个三角形的面积之和。

错误资源不仅仅对学生是有帮助的，对老师而言，学生出现的问题也能反映出教师教学中存在的不足。老师通过积极反思，及时调整教学思路，改变教学策略，促进学生对所学知识的理解、掌握。
总之，学生的错误是一种现实性、针对性、价值性、思考性很强的教学素材。在数学教学中，教师要将学生的错误纳入教学视野，精心组织利用，让学生在辨错、纠错中明理长智，主动建构。以上是我在教学实践中关于“错误资源”有效利用的点滴体会。对于如何有效利用学生课后作业中的错误资源还有待于我们一线老师继续深入研究与实践。

【主要参考资料】：
[1]、《义务教育数学课程标准》 教育部制定 2011版
[2]、张春莉、王迪、贺珍娟 《学生的错误是一种宝贵的资源》
小学数学教育 2007年12月
[3]、李淑静 《出错是成长的必然环节》 中小学数学
2012年1-2月合刊
[4]、王顺宾 《善用错误资源 构筑精彩课堂》 小学数学教育
2012年12月
本文于2013年5月进行了校级交流。