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全概率公式在生活中的应用
陈铭
扬州大学物理学院微电子系 130803202
摘 要：概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用途。本文分析了全概率公式的内涵及运算，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式应用于解决实际生产生活问题中的方法。
关键词：全概率公式 生产生活 完备事件组

引言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，起源于17 世纪，发展到现在已经深入到科学和社会的许多领域。长期以来，在大批概率统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，形成了众多分支在现代数学中占有重要的地位。全概率公式内涵丰富，应用广泛，是概率论中一个非常重要的公式。
在实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑，即将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。全概率公式就是一个运用这样思想去解决复杂问题的有力武器。[1]
当今社会飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，概率论与数理统计也越来越显示其重要性。
利用数学方法，充分利用好全概率公式及其推广形式，定量地对生产生活问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进工厂公司高效地生产出优质产品。利用好全概率公式可以用来解决投资、生产、工程等一系列不确定的问题。全概率公式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，同时它的适用范围成为我们解决更复杂问题的有效工具。

1 全概率公式
定义1 设（Ω，F，P）为概率空间，若
Ai∈F（i=1，2，…，n)
满足
AiAj = ø（i ≠ j，i，j=1，2，…，n）
∪ni=1Ai = Ω，
则称A1，A2，…， An为Ω的一个划分。
定理1 设（Ω，F，P）为概率空间，A1，A2，…， An为Ω的一个划分，且
P(Ai) > 0 （i=1，2，…，n）
则对于任一事件B∈F，有
P(B) = i=1nP(Ai)P(B｜Ai)。
上式称为全概率公式。

2 内涵剖析
2.1 蕴含的数学思想方法
全概率公式蕴含了化整为零化复杂为简单的数学思想。
P(B) =P( i=1nBAi )
表示将一个复杂事件B的概率分解成若干个简单事件BAi之和的概率。这就是全概率公式的基本思路。
2.2 公式的本质
全概率公式的本质是：全概率公式中的P(B)是一种平均概率，是条件概率P(B｜Ai) 的加权平均。其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件Ai发生的概率。
2.3 公式的直观作用。
由于公式包含了乘法公式
P(BAi) = P(Ai) P(B｜Ai)
即先有Ai后有B，Ai 对B的发生均有一定作用，只有a发生了，才有B发生的可能性，Ai是B发生的全部“原因”。因此我们可视为公事的直观作用是“知因求果”。
2.4 公式蕴含的运算
公式中包含了两个主要的运算过程：
（1） 概率的加法公式
P(B) =P( i=1nBAi )

（2） 概率的乘法公式
P(BAi) = P(Ai) P(B｜Ai)
因此。全概率公式是加法公式与乘法公式的综合运用。
2.5 运用公式的关键
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…， An。分割{ An }是为了计算P(B)而人为的引入的。选择适当可以使计算大为简化；选择不适当则不利于问题的解决。[2]

3 全概率公式的实用
一、寻找完备事件组的两种方法
  方法一：
从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组。
如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此有关联，第一个试验的各个结果对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这些问题，即可用全概率公式求解。此时，通常将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组
  例1. 假设有两个同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中随机取出两个零件，试求：取出的零件均是一等品的概率P；
 解：引进下列事件：
Ai = {被挑出的是第i箱} （i = 1，2）
B ={取出的零件是一等品}
有条件知
P(A1) = P(A2) = 0.5, P(B｜A1) = 0.2，P(B｜A2) = 0.6
由全概率公式，知
P(B) = P(A1) P(B｜A1) + P(A2) P(B｜A2)
=0.4
方法二：
从事件B发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组。
  如果事件B能且只能在“原因” A1，A2，…， An 下发生，且 A1，A2，…， An两两互不相容，那么这些“原因” A1，A2，…， An就是一个完备事件组。
例2.采购员要购买10个一包的电器元件。他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个原件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品。求采购员拒绝购买的概率。
解：记
A1={取到的是含4个次品的包}，A2 ={取到的是含1个次品的包}，
B={采购员拒绝购买}
则A1 ，A2构成样本空间的一个正划分，且P(A1) = 0.3，P(A2) = 0.7，又由古典概型计算知
P(B｜A1) = 1- 1/6 = 5/6 ，P(B｜A2) = 1-7/10 = 3/10
从而由全概率公式得到
P(B) = P(A1) P(B｜A1) + P(A2) P(B｜A2)
= 23/50
上述例题介绍了全概率公式寻找完备事件组的两种方法，对于以上这种简单事件，需先找出完备事件组，然后直接应用全概率公式就可求出我们所需的结果。[3]

二、全概率公式在生产生活中的应用
我们可以先举例来感受下。
某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。

元件制造厂
次品率
提供晶体管的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。
解 ： 设 B 表示“取到的是一只次品”，Ai ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
所以，P(A1)=0.15 P(B｜A1)=0.02
P(A2)=0.80 P(B｜A2)=0.01
P(A3)=0.05 P(B｜A3)=0.03
由全概率公式，有
P(B) = P(A1)* P(B｜A1) + P(A2)* P(B｜A2) + P(A3)* P(B｜A3)
= 0.02*0.15+0.01*0.80+0.03*0.05
= 0.0125

参考文献
[1]百度文库
[2]符方健 全概率公式及其应用技巧 海南 海口 高等数学研究 2011,14（2）
[3]王托洛夫斯基文帅酷之健 浅谈全概率公式及其应用