微积分在经济中的应用分析.doc

.一、经济分析中常用的函数 （一）需求函数和供给函数1.需求函数。需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q（p）（Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数（如图一）。图一DPO Q1 Q2 Q P1P2 需求曲线特征：横轴Q为需求量，纵轴P为自变量价格；需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。 2.供给函数。一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S（p），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg 若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg。一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。（如图二）O S1 S2 SS图二PP1P2 供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。 （二）、市场均衡 在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。 （三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多 就可以把价格讲得越低。例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。2.收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。3.利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L（Q）=R（Q）-C（Q）。其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用（一）、边际分析经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。例如，当消费者多吃一单位的冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用。定义：设函数y=f(x)可导，则导函数f（x）在经济学中称为边际函数。在经济学中，我们经常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数。 边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以， 产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产量的增长速度大于成本的增长速度，所以边际成本随产量的增加而递减；当产量增加到一定程度时，由于边际收益递减规律的作用，边际成本又随产量的增加而增加。如果不考虑最初的短暂情况，那么，它的变动规律主要表现就是：边际成本先是随产量的增加而减少，当产量增加到一定程度时，就随产量的增加而增加，因此，边际成本曲线也是一条先下降后上升的“U”形曲线。下面我们来看几个例子： 例1为什么甜筒会第二个半价？ 解：我们买甜筒的时候都是第二个半价，很多人会很不解。其实对于肯德基来说，店租、水电费、人工以及原材料都已经包含在了第一个甜筒的成本里面，当你再买第二个的时候已经把所有这些费用都分担了，后面半价的第二个只需要原材料的成本，就是所说的边际成本，我们都知道原材料费用一般都很低，所以肯德基第二个甜筒在你身上赚的更多都有可能。 例2漳州某餐厅，餐厅每天工作人员的工资与设施设备折旧的费用是1000元，该餐厅每天最多可以准备1500份饭菜，其中每份的成本是3元，卖出去一份是6元。如果有150个人来吃，有1500个人来吃，那么每份饭的总成本如下：150个人来吃：（150*3+1000）/150=9.67元151个人来吃：（151*3+1000）/151=9.62元1500个人来吃：（1500*3+1000）/1500=3.67元可以看出来道理跟例1是一样的。 所以当实际产量还没达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减；当实际产量超过一定限度（生产能力）时，边际成本随产量的扩大而递增。 例3假设一种商品生产p个单位时的成本为，求：（1）当生产商品200单位时的边际成本和平均成本；（2）当生产商品数量为多少时平均成本最低。 解 (1)边际成本函数为C（p）=0.4p 平均成本函数为c（p）=（500/p）+0.2p则 C（200）=80，c（50）= 42.5（2）我们知道当边际成本函数等于平均成本函数，即C（p）=c(p)时，平均成本函数c（p）取得极小值。所以 4p=（500/p）+2p P=50所以当商品生产数量为50时平均成本最低。 需求函数p（z）表示销售z单位某种产品时的单个产品的价格。那么，p（z）是z的单调减少函数。收益函数是R（z）=xp（z），边际收益函数是R（z）。利润函数是P（z）=R（z）-C(z),边际利润函数是P（z）。 例4假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加（其中为酒的贮量，P为当年白酒价格，r 为利息率，且假定r=10%），那么这些酒须储存多久效益才 最大呢？分析：假设须贮X年才最佳，由已知可得如下函数关系：1. x年增加的总收入函数（元）2. x年增加的贮存总成本（元）3. x年净增利润函数 （元）此时边际收入：边际成本：因为当利润最大，所以有，即x=2.75（年）。由于驻点唯一，故只有当储存期为2.75年时,企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元。 由此可知导数作为高等数学中的一个重要概念，在经济学中有许多应用，是经济学应用的一个重要工具。（二） 、需求价格弹性分析 从前面我们可以知道边际在经济学中是经常用到的，同样弹性在经济学中也是经常用到的概念，弹性与导数概念密切相关，也是一种变化率的问题。在西方微观经济学中, 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说, 当一个经济变量发生1%的变动时, 由它引起另一个经济变量变动的百分比。因此, 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。弹性的定义：设函数y=f（x）在点x处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，当时的极限称为函数y=f（x）在点处的相对变化率，或称为弹性函数。记为 1.需求价格弹性的概念。经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。记为。由于需求函数是价格的递减函数，所以需求弹性一般为负值。其经济意义为：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增加（或减少）。当=-1（即|=1）时，称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等。 2.需求价格弹性的应用 2.1在厂商定价中的应用 在商品经济中，经营者关心的是提价或降价对总收益的影响，利用需求弹性的概念，可以得出结论：涨价不一定增加收益，降价不一定减少收益。 例5 设某商品的需求函数为Q=1000-5p , Q 为需求量p 为价格，讨论其弹性。 解：由弹性定义知,需求量 Q 对价格 p 的弹性为 ：E（p）=pQ（p）Q（p） =-5p/1000-5p=-p200-p首先分析当需求相对变化率与价格相对变化率相等即|E(p)|= 1时，p =100 。当0p100时，|E(p )| 1，在这一价格范围内，随价格减小，E ( p ) 也递减，需求量的变化幅度小于价格变化的幅度，若此时采取降价措施，因需求量增加的百分比小于价格降低的百分比，总收入会减少。当 100p 1，在这一价格范围内，| E(p)|随p的增加而增加，需求量的变化幅度大于价格变化的幅度，若此时采取提价措施，因需求量下降的百分比大于价格增加的百分比， 总收入会减少。当p =100时，|E( p )|=1，此时价格上涨1，需求量将减少1，需求量的变化幅度等于价格变化的幅度，是最优价格。由此可知 ： 当弹性|E(p)|1时，采取降价措施，可以达到薄利多销的目的。当弹性|E(p)|1时，采取适当提高价格，不会因盲目降价促销而影响总利润。在商品经济活动中进行边际分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策 2.2在价格预测中的作用由于需求弹性等于需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比，所以在产品需求弹性、基期价格已知的条件下，我们可以在预测未来需求量或需求量变动率后，预测商品在未来某一时期的价格。例如：假设商品a的弹性系数为3，2012年的销售价格是1000元，预计2013年的销售量会从3000件上升到4000件，则可预测2013年的价格变动率=需求变动率/弹性系数=33.3%/3= 11.1%，预期价格=基期价格(1+价格变动率) = 1000*1.111=1111（三）、收入弹性分析 需求的收入弹性是指在价格和其他因素不变的条件下，由于消费者的收入变化所引起的需求数量发生变化的程度大小。通常用需求的收入弹性系数来表示需求收入弹性的大小，其公式如下：需求的收入弹性=需求量变动的百分比/消费者收入变动的百分比例6 有个地区2011年消费总额是200亿元，其中有个产品的消费额是6亿元，其收入弹性为2.2，且2012年这个地区预计消费总额为250亿元，那么2012年该产品的消费额估计数p是多少？解：由弹性公式得： 解得 p=9.3（亿元）从以上可以知道“边际”跟“弹性”都是经济分析中常用的函数，那么“边际”与“弹性”之间有什么联系与区别呢？我们来看一个例子。例10：假设产品a的需求函数为，P为价格。求：（1）当P=3时该产品的边际需求。（2）当P=3时该产品的需求弹性。（3）当P=3时,如果价格上涨百分之一，那么总需求将变动百分之几，上升还是下降？如果价格增加1个单位，总需求将变动多少，增加还是减少？（4）当P=3时，如果价格上涨，总收益将变动多少？上升还是下降？若P=7时，将如何变化。（5）P为多少时，总收益最大？解：（1）, （2）（3）由弹性的经济意义及（2）的结果可知：若价格上涨百分之一，总需求将下降0.209%； 由边际的经济意义及（1）的结果可知：若价格增加一个单位，总需求将下降8个单位。由（3）可以看出，弹性是一个相对量的比较，价格变动1%，相应的需求量将变动；而边际则是一个绝对量，价格增加一个单位，需求量将增加或减少多少个绝对量。边际与弹性，一个从绝对量变化的角度，一个从相对量变化的角度。但有一点它们是相同的，就是它们都是考虑在某一点时的瞬间变化情况，均是局部性的概念，而不是对整个变化过程做研究。 （4） 总收益应为需求量与价格的乘积，即： 边际收益R（3）=68收益弹性：表示p=3时，价格上升1%，总收益增加0.79%；价格增加一个单位，总收益增加68个单位。边际收益收益弹性： 表示P=7时，价格上升1%，总收益将减少1.13%；价格增加一个单位，总收益减少52个单位。由上可见，边际与弹性随着P点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际” 与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格，确定生产量等方面都具有重要的经济意义。那么，总收益有时升，有时降，何时才能使总收益最大呢？这是一个整体性问题， 若用边际或弹性来解决则显得有些罗嗦，在经济数学中，一般可用最大（小）值来解决：, (舍去)所以P=5.6时总收益最大。四、函数极值在经济管理中的应用在经济领域中常常遇到在一定条件下,要从各种可能的方案中选择一种最佳方案的情况.在数学中可归结为求最大值和最小值的问题,即最优化分析问题.4.1边际分析 在经济分析中，“边际”表示的某个值（或称边缘上）对的变化情况，是关于的瞬时变化率，就是关于的导数，由此便有了边际的概念.定义 设函数可导，称导函数为的边际函数.表示边际函数在处的边际函数值，它反映了函数在点处关于的变化速度.在点处，改变了一个单位，即，相应地变为，如果单位很小，则有：,这说明在处，当改变了一个单位时，函数近似改变了.定义设销售某种产品的利润函数为，则当可导时，称为销售量为单位时的边际利润.边际利润,是指厂商每增加一单位产出所带来的纯利的增量,其决定取决于边际收入和边际成本，边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益.例1某煤炭公司每天生产煤吨的总成本函，如果每吨煤的销售价为490元，求：（1）利润函数及边际利润函数；（2）边际利润为0时的产量.解 （1）因为总收入函数,所以利润函数为=.所以边际利润函数为=.（2） 当边际函数为0时，即=0由此可得=1000吨.因此边际分析有以下运用：A、决定企业生产的某一产品是否应该停产.只要亏损产品存在边际利润（即它的销售收入大于其变动成本），就应该继续生产. B、判断企业产品结构是否合理.如果企业生产的所有产品均有边际利润，则说明企业的产品结构基本上合理. C、停止某一产品的生产必须要以其他产品增产所带来的边际利润大于停产产品的边际利润为前提. 4.2弹性分析如：甲产品单价10元，提价1元；乙产品单价200元，提价1元.两种产品绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的幅度差异很大，甲提价10%，乙提价0.5%.因此有必要研究函数的相对量与相对变化率.定义 设函数可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变比称为函数从到两点间的弹性.令，极限值叫做函数在处的弹性，记作，即=，其仍是的一个函数，称其为弹性函数.定义 设需求函数在点处可导，则称为在到两点间的需求弹性.例2 已知某商品的需求函数，求：（1）=30到=20两点间需求弹性；（2）=30处需求弹性.解 （1）因为则，即当商品价格从30降到20时，从30每降低1%，需求量从40平均增加1.5%.（2）因为，则，即在=30处价格上涨1%，需求减少1%，而价格下跌1%，需求增加1%.定义 设供给函数在处可导，称比值为到上两点间的供给弹性.例3 设某商品的供给函数为，求供给弹性函数及时的供给弹性.解 因为，所以供给弹性函数为，所以时的供给弹性为，即在处价格上涨1%，供给增加0.81%.因此在实际问题分析中，我们就可以运用弹性原理进行价格决策.4.3最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标.在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中的一个现实问题.定义 收入减去总成本后的剩余部分叫做利润，通常用字母表示，即利润函数为，其中为总收益函数，为总成本函数.函数叫做利润函数.可利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润.由，令，得，即取得最大值的必要条件是：边际收益等于边际成本.当然最大利润或最小利润也不一定发生在时，有时候还要考虑导数不存在的点和端点.例4 某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R是年产量Q的函数： 问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解 根据题意总成本函数为：，从而可得总利润函数.令，得，所以时L最大.此时，即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元.例 5 某企业生产甲、乙两种产品，出售单价分别为100、80（单位：万元）生产单位的甲产品与生产单位的乙产品的总费用是，求两种产品的产量各为多少时可得最大利润？解：设生产甲产品单位、生产乙产品单位，则收益函数为.因为利润函数为 =所以 解方程组： ， 求得唯一驻点（30，10）.由于所以（30，10）是的唯一极大值点.因此，当甲、乙两种产量分别是30单位与10单位时，可取得最大利润，最大利润为万元.因此可最大限度地发挥人的潜能，最终实现企业利润最大化的目标.4.4最小成本问题总成本C是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额.它是由固定成本与可变成本组成.平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本.设产品的生产量为，成本为.若生产的产品越多，成本就越高，所以C是增函数.固定成本是即使不生产也要支出的费用（例如厂房、设备等）.下面举例说明如何求解平均成本最低时的生产量问题.例6 已知某企业的成本函数为其中表示成本（单位：千克），表示产量（单位：吨）.求平均可变成本（单位：千克）的最小值.解 平均可变成本，令=0，得=4.5.因为，所以=4.5时，取得最小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值.（千克）.即产量为时，平均可变成本取得最小值9.75千克.例7 某单位要建造一长方形形状的仓库，其体积为，仓库平顶的造价（单位：百元/）、仓库底的造价、仓库正面墙的造价、其它墙面的造价的比为，试问如何设计才能使造价最低？解 设仓库的长、宽、高分别为（其中为正面墙宽）仓库顶、底、正面墙、其它墙面的单位面积的造价分别为、1.7、1.3，仓库的造价为.则 ， .令，令.得驻点此时.由于驻点唯一，且实际问题有最小值，所以长、宽、高分别为时造价最低.因此，考虑最小成本问题可以节约资源.五、定积分在经济管理中的应用5.1成本函数与收益函数在已知某经济函数变化率或边际函数，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量时，经常应用定积分进行计算. 已知某产品总量的变化率是时间的连续函数，则从到这段时间内的产量为已知生产吨产品的边际成本函数为和固定成本为.则成本函数为已知边际收益函数，则收益函数为.例8 已知某产品的边际成本函数为（元/件），固定成本为80元，求：（1）成本函数.（2）若该产品的销售单价为20元，求利润函数，并问产量为多少时利润最大？解 （1）.（2），.令，得（件）.又因为,所以，当产量件时，利润最大.例9 某产品的边际收益函数为.求：（1）收益函数及生产50个产品时的收益.（单位：百万）（2）如果已经生产了100个产品，问再生产100个产品时，收益增加了多少？解（1） .（百万）.（2） 再生产100个产品，收益增加为（百万）.因此，在企业生产中用定积分计算方便、实用.5.2消费者剩余与生产者剩余（1） 消费者剩余. 商品价格的上升和下降,一方面直接影响了商品需求量的减少和增加，另一方面，对人们生活所必需的商品而言，也直接使消费者损失和受益（盈余）.因此,在考虑商品价格变动时除了要考虑商品需求量变化之外，还必须对消费者的盈余和损失问题进行研究.设需求函数的反函数为,其中为商品价格,表示市场上单位时间内的需求量,显然,原准备用高于现行商品价格的价格购买商品的消费者,必将由市场价格定在上而得到好处.在一定的经济学假设条件下,消费者得到的总盈余(受益)就是对单价的消费者剩余.记为,则,如果价格由变到,则需求量也相应地由变到,此时,消费者剩余的变化就是和之和,即,显然若,则表示消费者损失;若,则表示消费者剩余.易得,.所以= .例10 设某商品需求规律为,求当时的消费者剩余.解 当时,故 .(2)生产者剩余供给函数(为价格,为供给量)反映了某种商品的生产者以不同的价格供应该商品的数量,一般为增函数(图3).若市场价格为时相应的供给量为,那么当价格低于时,仍供应数量为的这种商品,则生产者从价格的事实中得到了利益,这些利益的总和称为生产者剩余,记为.由定积分的几何意义知为的反函数.例11 设供给函数,其市价为,试求生产者剩余.解 其反函数为,当时, .所以.因此，运用消费者剩余、生产者剩余概念，我们可以分析政府干预市场（如规定价格上限和价格下限）的影响.消费者剩余衡量的是消费者在特定市场上购买产品或服务从中获得的收益.生产者剩余衡量的是企业在特定市场上出售产品或服务从中获得的收益.5.3库存中的贮存费和保管费的估计工厂要保证生产，需要定期地订购各种原材料存在仓库里；各大公司也需要成批地购进各种商品，放在库房里以备销售.不论是原材料还是商品，都遇到一个库存的多少的问题：库存太多，库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多进货次数，这样一来，订货费高了.因此，必须研究如何合理地安排进货的批量、次数，才能使总费用（库存费+订货费）最省的问题.（1）商品贮存费的估计例12 售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用5个月时间.如果贮存费是每月每公斤0.01元，五个月后这位零售商需支付贮存费多少元？解 令 表示个月后贮存大米的公斤数，则将区间分为个等距的小区间，并且令表示第个小区间的左端点.在第个小区间中，每公斤贮存费用等于每月每公斤贮存费用与月数之积，于是每公斤贮存费用，而个月后贮存的公斤数为，因此第个小区间的贮存费， 所以总贮存费当无限增加时，由定积分定义可知 总贮存费=250（元）（2）商品保管费的估计例13 公司每天要支付仓库的租金，保险费，保证金等都与商品的库存量有关.现在有一个公司，它每30天会收到1200箱巧克力，随后，它每天以一定的比例售给零售商.已知到货后的天，公司的库存量是箱.一箱巧克力的保管费是0.05元.问公司平均每天要支付多少保管费？解 首先算出平均每天的库存量是多少.因为把每日的库存量加起来再除以30即为.所以应用积分中值定理得：(箱).故公司每天要支付（元）保管费.因此，销售中应考虑商品的贮存费和保管费，以免造成不必要的损失.欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢！单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。word范文