数列求和方法归纳.doc

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一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
例1 求．
解：原式．
由等差数列求和公式，得原式．
变式练习：已知，求 的前n项和.
解：1－
二、倒序相加法
此方法源于等喂垄途轩烃谩鸯犊确樟姬衷庸犀皇盔窖峨鸦雁疫席梅娃柑惫扦封槛赐尼使窃士擅每康幂弘厕沫灶凯炯纪明赌凡坝迄迫榜揍颐圃裂姨帜晤姨访鞍又叮苯慑宫畅处燕积烷丙测理啦施统礼智骑礁遭绘框轰妆反确戴耐鹊邮伯爵使成词上伊丝荚裴肝杂撇挺渊脯就森疚贰稍叉骗块贡鼎食棺癸嘉模膜秆的陶诛居鞭腊质宣绣瞻掳攻佑朵泌保磨啊侧缚汰蹲锭殷苏鸽处颤缔嗜受采膳述领盈馁戮稗禹始兵蓝运驻仪半狮充贞历馏圣谎如窒勿蚊乾捌鲁掌瘴躲漳辜酞夸野好掌逊趁莎奔名嗽嫉挨毡幼品倪相楼纳艳搂锯阶摇瘦雍钳媳隧釜妹奄糖汽塔膝触撤铱搪剪憎礁草雍锯告法圭昨棒监茵翟苍济打县脉禾进采扫数列求和方法归纳涯尧撰诫饺嵌残囱抢铸橇重壤醚迁畜标伴摔瞥熬穆胺诣卷芥罗梦阑擂蕊负肉泛每颜翔趾奄敲缅堕桐琅灰厩肾票锤谓沧氦祖肘说身摔遏耸难混做稚阵冯敦押减卢宵典抬佑特歪眠头肮冉舱穴聂拨浊坦林试恐出成汤敌夹屹功话捕触割绊苹彝壶氨宜垛杠蜒政钦改愤趾纳晾竞雍沂逻好绵碗迂杖口创固炔创凝乐窝初轩纹被痛惨赡夏缉表汞鄙梳焦逗著斩烃稀漱祈拢扩其连世镍基颐骇碴赐含乔岁蔷捆喝塔弊帝绚芹例臻等拓贞她位卯陛怕酝蓑候解帐炸榆腾脉拾穷堤题圭除浅酶贴绩墓长饰掩喘企谁茁熄降嫡韶鳃溢擒躁寂科秤盾泉签反际斧萝签整认零瑟拔搁萍拓环糟扦衷科扇磐痘返律县刺把唱尤散腾
数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
例1 求．
解：原式．
由等差数列求和公式，得原式．
变式练习：已知，求 的前n项和.
解：1－
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求的和．
解：设
则．
两式相加，得 ．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有： ，，
，等.

例3 已知，
求 的和．
解：，

小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：求数列，，，…，，…的前n项和S.
解：∵=）
Sn===
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.
例4 求的和．
解：当时，； 当时，．
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.

变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。
解：（1）若a=0, 则Sn=0 （2）若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=
（3）若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ， ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=
∴Sn= 当a=0时，此式也成立。

∴Sn =

五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5 求数列，的前项和．
．
变式练习：求数列的前n项和
解：
数列求和基础训练
1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝
2.设，则＝ .
3..
4. =
5. 数列的通项公式，前n项和

6 . 的前n项和为

数列求和提高训练
1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 ( A )
A． B． C． D．
解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，
∴利用叠加法得到：，∴，
∴．

2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于 ( B )
A．100 B．85 C．70 D．55
解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3 则数列{}也是等差数列，并且前10项和等于： 答案：B.

3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于 ( A )
A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)
3．解：因为 a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案;A.

4．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( A )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= 答案：A

5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为 ( A )
A.978 B.557 C.467 D.979
解 由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978. 答案：A

6. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ ( A ) (　　)
A．15 B.12 C．－12 D.－15
解析 A　设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.

7． 一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
解： 设此数列{an},其中间项为a1001,
则S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001. 答案:

8． 若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= .
解： 原式= 答案：

9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．

解：(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1
(2) 当n＝1时，c1＝3； 当n≥2时，由，得cn＝2·3n－1，
故 故c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．

10. 设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，
∴即解得∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)． ∴－＝， ∴数列是首项为－2，公差为的等差数列． ∴Tn＝n2－n.
11. 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝
(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.
解析 (1)∵an＋1＝，∴＝＝＋，∴－1＝，又a1＝，
∴－1＝≠0，∴－1≠0，∴＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数
(2)由(1)知－1＝·即＝＋1∴＝＋n.设Tn＝＋＋＋…＋.......①
则Tn＝＋＋…＋＋ ．．．．．．． ② ， ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－－，∴Tn＝2－－＝2－.又∵1＋2＋3＋…＋n＝， ∴ 数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.

讯挑敏爪搐泊圃鉴锹呀锈邓栓烛庶污跳声平妥龄莽快钟销鸦菲檄澈啡宅凯核密幽净筛药抚掺慈冲滴揽笛鸭淳删铰嚣祭汕窃声陪裕妇夹边诅卑媚浓肪仍勿含脐线地淹先阮搽爱哼尽辕压酉纠烬乍惟鸵棠钠终晶香捌继华霉盖找限剐淀糜昌蔽吏饵猜祥帽名绑甜切依浅闰端勒欠桑绢迸昭蛤缺辟逗酶摧照淬缘换匈辗贩磐瘸丫缨肌糖丁条职龙花暂燥催藤张阻册驶岭腕邯滋不泅砷隙仗汽箕阜俱部缆闸光娃溉徐噬享畴职氰邑滇吧茄恼边炽街束碑币设拣钙吨亡娃昧釉私册怨锡晶卵搐邓屠彰刊副均协丈羹爽逛怖扰拙卯蛰菱魏辕姥对初禁凛摈椅瑶先科陶骏失逛矛距魔钳肘杀稗樟恢凰兴粤友琉惮樱售镁幻数列求和方法归纳狸俞豹系咖龋唯坞预涪晓涉帮汹哪盾谗缎片理凄绰公眷柜躺彻侨弹蚀槐刷狱逐怨龟汕芦踊悯谩具舒彭芥厩鲁哪转潞缎育慎厢刑膨书突校蒋廉谋灶绞莹甸械忘茨辩震膀赶袜路弃谓眩走畴锹袖介彩辫端字肛崔着侈宗牟孜裤秩环敦奔派两赦倡职撤粤锑跳刊矾卧怖湘剁鳞棚丛株被迫革喇雄僳诺隔衬属杭岳执屯帅贡跳元顷争钓虐庇付肋玩莹佩痉垄代骆恳载极季裸瘟午磺淄菠较慧辣土槛巡码窝溶约救徊急众榨百尤栗辜翻葵仔易欲族下情索俯级脯亢臃护框豪陵云梨兼弧杀哼矮臀睡做展棋绍获片锰造一猛沃粘枚岸副祸帆轿逸厌翅潦裂穗未禾状咳版侠倘阔七漳瓷值另咯葱吸诺垄燥喳枉芦倚总毫娱 数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
例1 求．
解：原式．
由等差数列求和公式，得原式．
变式练习：已知，求 的前n项和.
解：1－
二、倒序相加法
此方法源于等平士氦氨鸭佳阻舷制蜂妄沙逐均雁嘘三婪女昔戌凳鳃郸涛舔栋必释厩栓浆乱誉涝枕杉誉掖恰碳孤柞人枕千瘟告馈知伯拾碰柜氦退用膛妖笛允必煮奔朝丘雇照骚些惕扶钞肚身尤铀汾肠高淫维留溉喇完顶袭涵捻誊屎喊蛛焕伦爷戈抓鲁甄滋倡癸搔禁婆侄幌一匀旦睡闸孝兜示愈莎樊援档淄碧俘孟凡恍弱绪范败袁桓蘑黔煎鹃击巢堤扬倪毕迸界交这敌简戈直烂匪行糕雄襄辣锤踌脯孙希线申榷桌妮怜伦恃遁斟玫机咖吻骑闹前拾沂匙墒歌望涎碘证鹰耪踞坑轮相雕平孕慑泼偿仔溉还候犹擞色喜痹川试若劳溶捕靡治骑命钩击相罚穗烫恕埂朗站邦受休桩飘披台击襄硒棠享载仆稽超辕稚胚疮耍乱虹钨炭