高一数学必修1知识点总结.docx

高一数学必修1知识点总结
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课
　　件www.5y
　　　　高一数学必修一知识点总结
　　第一章集合与函数概念
　　一、集合有关概念
　　.集合的含义
　　2.集合的中元素的三个特性：
　　（1）元素的确定性如：世界上最高的山
　　（2）元素的互异性如：由HAPPy的字母组成的集合{H,A,P,y}
　　（3）元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
　　（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
　　（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
　　注意：常用数集及其记法：X
　　非负整数集（即自然数集）记作：N
　　正整数集
　　：N*或N+
　　整数集：
　　Z
　　有理数集：
　　Q
　　实数集：
　　R
　　）列举法：{a,b,c……}
　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
　　4)Venn图:
　　4、集合的分类：
　　有限集
　　含有有限个元素的集合
　　无限集
　　含有无限个元素的集合
　　空集
　　不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝
　　二、集合间的基本关系
　　.“包含”关系—子集
　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
　　2．“相等”关系：A=B
　　实例：设
　　A={x|x2-1=0}
　　B={-1,1}
　　“元素相同则两集合相等”
　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AA
　　②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB
　　③如果AB,Bc,那么Ac
　　④如果AB
　　同时BA那么A=B
　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
　　4.子集个数：
　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

　　三、集合的运算
　　运算类型
　　交
　　集
　　并
　　集
　　补
　　集
　　定
　　义
　　由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．
　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
　　记作，即
　　cSA=
　　韦
　　恩
　　图
　　示

　　性

　　质
　　AA=A
　　AΦ=Φ
　　AB=BA
　　ABA
　　ABB
　　AA=A
　　AΦ=A
　　AB=BA
　　ABＡ
　　ABB
　　=cu
　　=cu
　　A
　　=U
　　A
　　=Φ．
　　二、函数的有关概念
　　．函数的概念
　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f|x∈A}叫做函数的值域．
　　注意：
　　．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
　　分式的分母不等于零；
　　偶次方根的被开方数不小于零；
　　对数式的真数必须大于零；
　　指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
　　如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
　　指数为零底不可以等于零，
　　实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
　　相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
　　②定义域一致
　　2．值域:先考虑其定义域
　　观察法
　　配方法
　　代换法
　　3.函数图象知识归纳
　　定义：
　　在平面直角坐标系中，以函数y=f,中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P的集合c，叫做函数y=f,的图象．c上每一点的坐标均满足函数关系y=f，反过来，以满足y=f的每一组有序实数对x、y为坐标的点，均在c上.
　　画法
　　.描点法：
　　2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换
　　4．区间的概念
　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
　　（2）无穷区间
　　（3）区间的数轴表示．
　　5．映射
　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
　　对于映射f：A→B来说，则应满足：
　　集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
　　集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
　　不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
　　6.分段函数
　　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
　　各部分的自变量的取值情况．
　　分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
　　补充：复合函数
　　如果y=f,u=g,则y=f[g]=F
　　称为f、g的复合函数。
　　二．函数的性质
　　.函数的单调性
　　（1）增函数
　　设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f<f，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间.
　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间.
　　注意：函数的单调性是函数的局部性质；
　　（2）图象的特点
　　如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
　　.函数单调区间与单调性的判定方法
　　定义法：
　　（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；
　　（2）作差f－f；或者做商
　　（3）变形（通常是因式分解和配方）；
　　（4）定号（即判断差f－f的正负）；
　　（5）下结论（指出函数f在给定的区间D上的单调性）．
　　图象法
　　复合函数的单调性
　　复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
　　8．函数的奇偶性（整体性质）
　　（1）偶函数：一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数．
　　（2）奇函数：一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数．
　　（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
　　9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
　　○2确定f与f的关系；
　　○3作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若f=－f或f＋f=0，则f是奇函数．
　　注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定.
　　0、函数的解析表达式
　　（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
　　（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法
　　1．函数最大（小）值
　　○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
　　○2利用图象求函数的最大（小）值
　　○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
　　如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f；
　　如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；
　　第三章基本初等函数
　　一、指数函数
　　（一）指数与指数幂的运算
　　．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
　　负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
　　当是奇数时，，当是偶数时，
　　2．分数指数幂
　　正数的分数指数幂的意义，规定：
　　，
　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
　　3．实数指数幂的运算性质
　　（1）•
　　；
　　（2）
　　；
　　（3）
　　．
　　（二）指数函数及其性质
　　、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
　　2、指数函数的图象和性质
　　a>1
　　0<a<1

　　定义域R
　　定义域R
　　值域y＞0
　　值域y＞0
　　在R上单调递增
　　在R上单调递减
　　非奇非偶函数
　　非奇非偶函数
　　函数图象都过定点（0，1）
　　函数图象都过定点（0，1）
　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
　　（1）在[a，b]上，值域是或；
　　（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
　　（3）对于指数函数，总有
　　二、对数函数
　　（一）对数
　　．对数的概念：
　　一般地，如果
　　，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）
　　说明：○1注意底数的限制，且；
　　○2
　　；
　　○3注意对数的书写格式．
　　两个重要对数：
　　○1常用对数：以10为底的对数；
　　○2自然对数：以无理数为底的对数的对数．
　　指数式与对数式的互化
　　幂值
　　真数

　　＝N
　　＝b

　　底数
　　指数
　　对数
　　（二）对数的运算性质
　　如果，且，，，那么：
　　○1
　　•
　　＋；
　　○2
　　－；
　　○3
　　．
　　注意：换底公式：
　　（，且；，且；）．
　　利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）．
　　（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；
　　②、，
　　③、对数恒等式
　　（二）对数函数
　　、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
　　注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，
　　都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
　　○2对数函数对底数的限制：，且．
　　2、对数函数的性质：
　　a>1
　　0<a<1
　　定义域x＞0
　　定义域x＞0
　　值域为R
　　值域为R
　　在R上递增
　　在R上递减
　　函数图象都过定点（1，0）
　　函数图象都过定点（1，0）
　　（三）幂函数
　　、幂函数定义：一般地，形如
　　的函数称为幂函数，其中为常数．
　　2、幂函数性质归纳．
　　（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
　　（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
　　（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
　　第四章函数的应用
　　一、方程的根与函数的零点
　　、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
　　即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
　　3、函数零点的求法：
　　○1（代数法）求方程的实数根；
　　○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
　　4、二次函数的零点：
　　二次函数．
　　（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
　　（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
　　（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
　　5.函数的模型

课
　　件www.5y

7