第6章数理统计的基本概念习题及答案.doc

第六章 数理统计的基本概念

一.填空题

1.若是取自正态总体的样本，
则服从分布 .
2.样本来自总体则 ；
___。其中为样本均值，。

3.设是来自正态总体的简单随机样本，
，则当 时，
时，统计量服从分布，其自由度为 2 .

4. 设随机变量与相互独立, 且都服从正态分布, 而和
是分别来自总体和的简单随机样本, 则统计量
　　　.

5. 设相互独立, 与分别
为X与Y的一个简单随机样本,
则服从的分布为

6. 设随机变量, 随机变量, 且随机变量X与Y相互独立,
令, 则　F(1,n)　　分布.
解：由, 得. 因为随机变量, 所以 再由随机变量X与Y相互独立, 根据F分布的构造, 得
7. 设是总体的样本, 则统计量服从的分布为

(需写出分布的自由度).

解：由知, 于是

8. 总体为总体X的一个样本, 设服
从　 F(1,1)　分布(说明自由度)

解：由, 有,
又　, 故
因为与独立,
所以
9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若 总 体 的 平 均 值 m与 总 体 方 差 s2 都 存 在 ， 则 样 本
平 均 值 是 m 的 一 致 估 计。 ( 对 )

(2) 若 则 称 为 q 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在， 是X 的一个样本 ，
则统计量是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

(4) 若 且 则 以 估 计 q 较 以 估
计 q 有 效 。 ( 错 )

(5) 设为q 的估计量，对任意e > 0，如果 则称
是q 的一致估计量 。 ( 对 )

（6）样本方差是总体中s2 的无偏
估计量。是总体X中s2的有偏估计。 （ 对 ）

10.设是取自总体的一个样本，则下面三个均值估计量
都
是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 最有效.

二、选择题
1、设总体服从正态分布，其中已知，未知，是取自总体的一个样本，则非统计量是( D ).
A、 B、
C、 D、
2、设是来自正态总体的简单随机样本，，，，则服从自由度为的t分布的随机变量是( B ).
A、 B、 C、 D、
3、设，为的样本，则( C ).
A、 B、
C、 D、
4、设是总体的样本，分别是样本的均值和样本标准差，则有( C )
A、 B、 C、 D、
5.. 简 单 随 机 样 本 () 来 自 某 正 态 总 体， 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
( A ) 与 独 立 ( B ) 与 独 立 ( 当 )
( C ) 与 独 立 ( D ) 与 独 立 ( 当 )
6. 设 ， 来自总体 来自总体 ， 且 X 与 Y 独 立。

则如下结论中错误的是 ( D )。
( A )
( B )
( C )
( D )
7. 设是取自总体的样本，则可以作为的无偏估计量是( A ).
A、 B、 C、 D、
8. 3、设是来自母体的容量为3的样本，，，，则下列说法正确的是( B ).
A、都是的无偏估计且有效性顺序为
B、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为
C、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为
D、不全是的无偏估计，无法比

三. 计算题

1、在总体中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在
29到31之间取值的概率.
解：因，故，即

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)，抽取一容量
为9的样本，其均方差，问是多少？
解：因未知，不能用来解题，
而
，而

由表查得
3、设为总体的一个样本，求.
解：

4、设总体，从此总体中取一个容量为6的样本，
设，试决定常数，使随机变量服 从分布.

解：，

，

即
时，

5、设随机变量服从分布，求的分布.
解：因为，其中，，

6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。
( 已 知 x ~ N ( 0， 1 ) ， p ( x < 1.96 ) = 0.975 )

解: 当 n 足 够 大 时，t 分 布 近 似 N (0，1),
当 u ~ N (0，1 ) 时 ，分 位 数 u1-a 近 似 t1-a( n ) 。
而 p { u ³ u0.975 } =0.025 时 ， u0.975 = 1.926 » 2 ， t0.975 ( 50 ) » 2

7. 设 Xn为 来 自 有 均 值 m 和 r 阶 中 心 矩 mr 的 总
体 X 的 样 本，试证明。又此式说明总体的r阶
矩与样本r 阶矩有什么关系 ？

证 ：
上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的
r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 mr的 无 偏 估 计 。

8. 设总体, 为来自总体X的样本. 令
.
试确定常数C, 使CY服从分布, 并指出其自由度.

解：由, 得
又互相独立,
故

且二者独立.
从而有
得分布的自由度为2.

9. 设分别是来自正态的总体X与Y的样本,,求.

解:方法1:由
可得 .
方法2:
.

10.设 是 取 自 母 体 N ( m，s2 ) ，容 量 为 n的 两 个 相 互 独
立 的 样 本 X1 、X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、Yn 的 均 值 ，
试 确 定 n ， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 s 的 概 率
大 约 为 0.01 。 ( 已 知 F ( 2.58 ) = 0.995 )
解 ： 由 于 及 均 服 从 则
要
即
即 即

\ 取 n = 14

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