高一数学等差数列前n项和典型例题.pptx

复习引入复习引入1.等差数列定义：等差数列定义：即即anan1 d(n2).2.等差数列通项公式：等差数列通项公式：(2)anam(nm)d.(3)anpnq(p、q是常数是常数)(1)ana1(n1)d(n1).复习引入复习引入3.几种计算公差几种计算公差d的方法的方法:复习引入复习引入4.等差中项等差中项成等差数列成等差数列.mnpq amanapaq.(m，n，p，qN)5.等差数列的性质等差数列的性质高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说有一次老师出了一道题目，老师说:“现在给大家现在给大家出道题目出道题目:1+2+100=?”过了两分钟，正当大家过了两分钟，正当大家在：在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050”教师问：教师问：“你是如何算出答案的？你是如何算出答案的？”高斯回答说：高斯回答说：“因为因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以，所以10150=5050”.“倒序相加倒序相加”法法1+2+3+n=？解：记解：记Sn=1+2+3+n-2+n-1+n则有则有 Sn=n+n-1+n-2+3+2+1；对应相加得对应相加得:2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+（n-1+2)+(n+1)=n(n+1)则则Sn=倒序相倒序相加法加法100层层怎么求呢？怎么求呢？先补先补想：探求三角形面积想：探求三角形面积后分后分变：变：“知三求二知三求二”【例【例1 1】已知等差数列】已知等差数列aan n.(1)a(1)a1 1=a=a1515=S=Sn n=-5,=-5,求求n n和和d;(2)ad;(2)a1 1=4,S=4,S8 8=172,=172,求求a a8 8和和d.d.【审题指导】【审题指导】根据等差数列前根据等差数列前n n项和公式解方程项和公式解方程.【规范解答】【规范解答】（1 1）aa1515=+(15-1)d=+(15-1)d=d=d=又又S Sn n=na=na1 1+d=-5,d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）.（2 2）由已知，得）由已知，得S S8 8=解得解得a a8 8=39,=39,又又aa8 8=4+(8-1)d=39,d=5.=4+(8-1)d=39,d=5.【变式训练】在等差数列【变式训练】在等差数列aan n 中，已知中，已知a a6 6=10=10，S S5 5=5=5，求，求a a8 8.【解析】【解析】方法一：设公差为方法一：设公差为d,d,aa6 6=10=10，S S5 5=5=5，解得解得 a a8 8=a=a6 6+2d=16.+2d=16.方法二：设公差为方法二：设公差为d,d,SS6 6=S=S5 5+a+a6 6=15=15，15=15=即即3 3（a a1 1+10+10）=15.=15.aa1 1=-5=-5，d=3.ad=3.a8 8=a=a1 1+（8-18-1）d=16.d=16.【例例2 2】S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和，且项和，且S S1010=100=100，S S100100=10=10，求求S S110110.【审题指导审题指导】题目给出等差数列题目给出等差数列aan n 中的中的S S1010=100=100，S S100100=10=10，欲求欲求S S110110，可由等差数列前，可由等差数列前n n项和公式列出方程组，求出项和公式列出方程组，求出a a1 1和和d d，然后求出，然后求出S S110110.或由等差数列或由等差数列“片段和片段和”性质性质S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列求出的等差数列求出公差，然后求出公差，然后求出S S110110.【规范解答】【规范解答】方法一方法一:设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,前前n n项和项和为为S Sn n,则则S Sn n=na=na1 1+由已知得由已知得10-,10-,整理得整理得d=d=代入代入,得得a a1 1=SS110110=110a=110a1 1+=-110.+=-110.故此数列的前故此数列的前110110项之和为项之和为-110.-110.方法二：设方法二：设Sn=AnSn=An2 2+Bn+Bn100A+10B=100100A+10B=10010000A+100B=1010000A+100B=10，解得，解得A=-11/100A=-11/100，B=111/10B=111/10，S S110110=-110=-110方法四方法四:数列数列S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差成等差数列数列,设其公差为设其公差为D,D,前前1010项和为项和为10S10S1010+D=SD=S100100=10=10 D=-22,S D=-22,S110110-S-S100100=S=S1010+(11-1)D+(11-1)D=100+10(-22)=-120.=100+10(-22)=-120.SS110110=-120+S=-120+S100100=-110.=-110.方法三方法三:Sn=Sn=练习：练习：1 1、等差数列、等差数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，已知，已知S8=132S8=132，Sm=690Sm=690，Sm-8=270Sm-8=270（m m8 8），则），则m m为（）为（）2 2、等差数列、等差数列 a ann的前的前m m项和为项和为3030，前，前2m2m项和为项和为100100，前，前3m3m项和为（项和为（210210）知识点：等差数列前知识点：等差数列前n n项和的性质的应用项和的性质的应用(1)(1)项数（下标）的项数（下标）的“等和等和”性质：性质：S Sn n=(2)(2)项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d：若共有若共有2n2n项，则项，则S S2n2n=n=n（a an n+a+an+1n+1）；）；S S偶偶-S-S奇奇=nd=nd；S S偶偶SS奇奇=a=an+1n+1aan n；若共有若共有2n+12n+1项，则项，则S S2n+12n+1=（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶-S-S奇奇=-a=-an+1n+1；S S偶偶S S奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段和片段和”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d，前，前k k项的和为项的和为S Sk k，则，则S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列的等差数列.【变式【变式1 1】等差数列】等差数列aan n 中，中，a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，求，求S S1313.【解题提示解题提示】利用等差数列的性质利用等差数列的性质S Sn n=【解析】【解析】因为因为a a1 1+a+a1313=a=a2 2+a+a1212=2a=2a7 7，又，又a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，所以，所以a a7 7=8=8，所以，所以S S1313=138=104.=138=104.【变式【变式2 2】已知等差数列】已知等差数列aan n 的前的前4 4项和为项和为2525，后，后4 4项和为项和为6363，前，前n n项和项和为为286286，求项数，求项数n.n.【审题指导】【审题指导】题目给出前题目给出前4 4项和与后项和与后4 4项和，可利用等差数项和，可利用等差数列项数（下标）的列项数（下标）的“等和等和”性质：性质：S Sn n=来求得来求得.【规范解答】【规范解答】因为因为a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=25=25，a an-3n-3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n=63.=63.而而a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a=a4 4+a+an-3n-3，所以所以4 4（a a1 1+a+an n）=88=88，所以，所以a a1 1+a+an n=22=22，所以所以S Sn n=11n=286=11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的项数为故所求的项数为26.26.【奇数项偶数项题组】第二课时【奇数项偶数项题组】第二课时例例4:4:等差数列等差数列anan中中(1)(1)共有共有1010项，其奇数项之和为项，其奇数项之和为1515，偶数项之和为，偶数项之和为3030，求公，求公差差d d；(2)(2)前前1212项之和为项之和为354354，前，前1212项中偶数项和与奇数项和之比项中偶数项和与奇数项和之比为为32:2732:27，求公差，求公差d d(3)(3)前前n n项和为项和为377377，项数，项数n n为奇为奇数，且前数，且前n n项和中奇数项和与项和中奇数项和与偶数项和之比为偶数项和之比为7676，求中间项，求中间项.(4)(4)项数为项数为2n+12n+1，若所有奇数项的和为，若所有奇数项的和为165165，偶数项和为，偶数项和为150150，求，求n n(5)S(5)S100100=45=45，d=1/2d=1/2，求，求a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999【3 3】已知等差数列】已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为377377，项数，项数n n为奇为奇数，且前数，且前n n项和中奇数项和与偶数项和之比为项和中奇数项和与偶数项和之比为7676，求中间项，求中间项.【解题提示】【解题提示】在等差数列在等差数列aan n 中，若共有中，若共有2n+12n+1项，项，则则S S2n+12n+1=（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶SS奇奇=n=n（n+1n+1）.【解析】【解析】因为因为n n为奇数，所以为奇数，所以 所以所以n=13n=13，所以，所以1313a a7 7=S=S1313=377=377，所以，所以a a7 7=29=29，故所求的中间项为故所求的中间项为29.29.第三课时第三课时【最值问题】【最值问题】【典例】（【典例】（1212分）在等差数列分）在等差数列aan n 中，中，a a1 1=25=25，S S1717=S=S9 9，求，求S Sn n的最大值的最大值.【审题指导】【审题指导】题目给出首项和题目给出首项和S S1717=S=S9 9等条件，欲求等条件，欲求S Sn n的最大值可转化的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式为二次函数求最值，或利用通项公式a an n求求n n使得使得a an n0,a0,an+1n+10 0或利用或利用性质求出大于或等于零的项性质求出大于或等于零的项.【规范解答】【规范解答】方法一：设公差为方法一：设公差为d,d,由由S S1717=S=S9 9得得2517+=25 2517+=25 3 3分分解得解得d=-2d=-2，6 6分分SSn n=25n+=25n+（-2-2）=-=-（n-13n-13）2 2+169+169，9 9分分由二次函数性质得，当由二次函数性质得，当n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169.169.1212分分方法二：先求出公差方法二：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一），6 6分分aa1 1=25=250,0,故故aan n 为递减数列，由为递减数列，由 得得 解得解得 9 9分分即即 又又nNnN*当当n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值S S1313=1325+=1325+（-2-2）=169.=169.1212分分方法三：先求出公差方法三：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一），6 6分分由由S S1717=S=S9 9，得，得a a1010+a+a1111+a+a1717=0=0，而而a a1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414，故故a a1313+a+a1414=0 =0 9 9分分d=-2d=-20,a0,a1 10,a0,a13130,a0,a14140.0.故故n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169.169.1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：对解答本题时易犯错误的具体分析如下：【即时训练即时训练】在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=50=50，d=-0.6.d=-0.6.（1 1）从第几项起以后各项均小于零？）从第几项起以后各项均小于零？（2 2）求此数列前）求此数列前n n项和的最大值项和的最大值.【解题提示解题提示】（）实质上是解一个不等式，但要注意（）实质上是解一个不等式，但要注意为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题【解析解析】（1 1）a a1 1=50=50，d=-0.6,d=-0.6,aan n=50-0.6=50-0.6（n-1n-1）=-0.6n+50.6.=-0.6n+50.6.令令-0.6n+50.60-0.6n+50.60，则，则n 84.3.n 84.3.由由nNnN*,故当故当n85n85时，时，a an n0 0，即从第，即从第8585项起以后各项均小于项起以后各项均小于0.0.(2)(2)方法一：方法一：a a1 1=50=500 0，d=-0.6d=-0.60 0，由（由（1 1）知）知a a84840 0，a a85850 0，S S1 1S S2 2S S3 3S S8484，且，且S S8484S S8585S S8686.（S Sn n）maxmax=S=S8484=5084+=5084+（-0.6-0.6）=2 108.4.=2 108.4.方法二：方法二：S Sn n=50n+=50n+（-0.6-0.6）=-0.3n=-0.3n2 2+50.3n+50.3n=-0.3=-0.3（n-n-）2 2+当当n n取最接近于取最接近于 的自然数，即的自然数，即n=84n=84时，时，S Sn n取得最大值取得最大值S S8484=2 108.4.=2 108.4.【最值问题题组】【最值问题题组】等差数列等差数列an中中(1)a10，a2003+a20040，a2003a20040成立的最大自然数成立的最大自然数n是（是（）(2)若若S190，S200，则，则S1a1，S2a2，S19a19中中最大的项是（最大的项是（）(3)a100，a110，且，且a11|a10|，使，使Sn0的的n的最小的最小值为（值为（）(4)已知已知|a3|=|a9|，d0，则使它的前，则使它的前n项和项和Sn取得最取得最大值的自然数大值的自然数n等于（）等于（）(5)公差公差d0，若，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前，则该数列的前n项和项和Sn的最大值为（）的最大值为（）性质应用1、设数列an是项数为20的等差数列，公差dN+，且关于x的方程x2+2dx-4=0的两个实根x1、x2满足x11x2，则数列an的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（）2、已知等差数列an中，前5项和S5=15，前6项和S6=21，则前11项和S11=（）3、a1=2008，S2007/2007S2005/2005=2，求S20081.1.在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=4=4，a a6 6=6=6，则前，则前6 6项和项和S S6 6=（）（A A）70 70 （）（）35 35 （）（）30 30 （）（）1212【解析解析】选选S S6 6 30302.2.等差数列等差数列aan n 的前项和为的前项和为S Sn n，若，若a a3 3a a17171010，则，则S S1919（）（）（）55 55 （）（）9595（）（）100 100 （）不能确定（）不能确定【解析解析】选选S S1919 9595检测题检测题3.3.已知数列已知数列aan n 的通项的通项a an n-n n，则其前项和，则其前项和S Sn n_【解析解析】a an+1n+1-a-an n-，aan n 是等差数列是等差数列a a1 1-，-，S Sn n-（-）4.4.等差数列等差数列aan n 的前项和为的前项和为S Sn n，若，若a a2 2，a a3 3，则，则S S4 4_【解析解析】aa2 2=1=1，a a3 3，a a1 1-，S S4 45 5.已知已知aan n 是等差数列是等差数列,a,a1 1a a3 3a a5 5,a,a6 6,求此数列前项的和求此数列前项的和【解析】【解析】设公差为设公差为d,ad,a1 1a a3 3a a5 59 9，a a6 6，3a3a3 3=9,a=9,a3 3=3=3，aa6 6=a=a3 3+(6-3)d+(6-3)d，d=2,d=2,解得解得a a1 1=a=a6 6-5d=-1.-5d=-1.S6=6(-1)+30=24.解：解：由由7n100,得得即即所以所以n14.所以集合中的元素为：所以集合中的元素为：这个数列是等差数列这个数列是等差数列,记为记为an,a1=7,a14=98.因此，因此，6、求集合求集合M=m|m=7n,n N*,且且m0,d0，Sn有最大值有最大值(2)(2)a10,Sn有最小值有最小值【例【例2 2】已知等差数列】已知等差数列aan n 中，中，S S2 2=16=16，S S4 4=24=24，求数列，求数列 a an n 的前的前n n项和项和A An n.【分析】先去绝对值号【分析】先去绝对值号如何判断出如何判断出an的正负？的正负？得先求出得先求出an方案：方案：1 1、先求、先求a an,2n,2、判断、判断anan的正负，的正负，3 3、分段求和、分段求和【规范解答】【规范解答】设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d,d,由已知列方程组由已知列方程组解得解得a a1 1=9=9，d=-2d=-2，aan n=11-2n.=11-2n.令令a an n00，得，得11-2n011-2n5.5.n5.5.设设S Sn n表示数列表示数列aan n 的前的前n n项和，项和，当当n5n5时，时，a an n00，A An n=S=Sn n=a1+a2+an=-n-n2 2+10n+10n；当当n6n6时，时，a an n00，A An n=|a1a1|+|a2a2|+|a3a3|+|a4a4|+|a5a5|+|+|a6a6|+|+|a7a7|+|+|+|anan|=a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5-a-a6 6-a-a7 7-a-an n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5-(a-(a6 6+a+a7 7+a+an n)=2(a=2(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5)-(a)-(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7+a+an n)=2S=2S5 5-S-Sn n=2(-5=2(-52 2+50)-(-n+50)-(-n2 2+10n)+10n)=n=n2 2-10n+50-10n+50AAn n=小结：小结：1、先求、先求an,2、判断、判断an的正负，的正负，3、分段求和、分段求和【变式训练】在等差数列【变式训练】在等差数列aan n 中中,a,a1 1=-60,a=-60,a1717=-12,=-12,求数列求数列|a|an n|的前的前n n项和项和.【解析解析】设数列设数列aan n 的公差为的公差为d d，则，则d=3,d=3,aan n=a=a1 1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由由a an n0,0,得得3n-633n-630 0，即，即n n21.21.当当n=21n=21时，时，a a2121=0.=0.数列数列aan n 的前的前2020项是负数，第项是负数，第2020项以后的项都为非负数项以后的项都为非负数.设设S Sn n,S,Sn n分别表示数列分别表示数列aan n 和和|a|an n|的前的前n n项之和，项之和，当当n20n20时，时，S Sn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n|=-a|=-a1 1-a-a2 2-a-an n=-S=-Sn n=-=-60n+3-60n+3=当当n n2020时，时，S Sn n=-S=-S2020+(S+(Sn n-S-S2020)=S)=Sn n-2S-2S2020=-60n+3-2(-6020+3)=-60n+3-2(-6020+3)数列数列|a|an n|的前的前n n项和项和 S Sn n=【例【例3 3】(12(12分分)有两个等差数列有两个等差数列aan n，bbn n，其前，其前n n项和分别项和分别为为S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【审题指导】【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n n项和项和S Sn n和和T Tn n的比值，欲求的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前的值，可充分利用等差数列前n n项和公式及等差中项的关系转化为项和公式及等差中项的关系转化为 的关系的关系.【规范解答】【规范解答】方法一：方法一：3 3分分 6 6分分 9 9分分 1212分分方法二：因为方法二：因为 3 3分分所以设所以设S Sn n=(7n+2)kn=(7n+2)kn，T Tn n=(n+3)kn,k0,=(n+3)kn,k0,6 6分分aa5 5=S=S5 5-S-S4 4=65k,b=65k,b5 5=T=T5 5-T-T4 4=12k,=12k,9 9分分 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【训练】有两个等差数列【训练】有两个等差数列aan n，bbn n，其前，其前n n项和分别为项和分别为S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【解析】【解析】由等差数列的性质得由等差数列的性质得1.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2，则，则a a8 8的值为的值为()()(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)642.2.已知数列已知数列aan n 为等差数列，为等差数列，a a1 1=35,d=-2,S=35,d=-2,Sn n=0,=0,则则n n等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36当堂检测当堂检测3.3.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，a an n=11,d=2,S=11,d=2,Sn n=35,=35,则则a a1 1等于等于()()(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5 (C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-14.4.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，则，则S S5 5=_.=_.5.5.两个等差数列两个等差数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项和分别是项和分别是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值.3.3.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，a an n=11,d=2,S=11,d=2,Sn n=35,=35,则则a a1 1等于等于()()(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5(C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-1【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得 从而从而a a1 1=3=3或或a a1 1=-1.=-1.4.4.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，则，则S S5 5=_.=_.【解析解析】S S5 5=15.=15.1.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2，则，则a a8 8的值为的值为()()(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析解析】选选A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.2.2.已知数列已知数列aan n 为等差数列，为等差数列，a a1 1=35,d=-2,S=35,d=-2,Sn n=0,=0,则则n n等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36【解析解析】选选D.SD.Sn n=na=na1 1+=0,+=0,35n-n(n-1)=0,35n-n(n-1)=0,得得n=36.n=36.当堂检测当堂检测3.3.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，a an n=11,d=2,S=11,d=2,Sn n=35,=35,则则a a1 1等于等于()()(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5(C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-1【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得 从而从而a a1 1=3=3或或a a1 1=-1.=-1.4.4.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，则，则S S5 5=_.=_.【解析解析】S S5 5=15.=15.5.5.两个等差数列两个等差数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项和分别是项和分别是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值.【解析】【解析】方法一：方法一：方法二：因为方法二：因为 所以设所以设S Sn n=(2n+3)kn=(2n+3)kn，T Tn n=(3n-1)kn=(3n-1)kn，k0,k0,aa9 9=S=S9 9-S-S8 8=37k.=37k.b b9 9=T=T9 9-T-T8 8=50k.=50k.类型四：等差数列在实际问题中的应用类型四：等差数列在实际问题中的应用 分析：利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略分析：利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：【例【例4 4】从】从4 4月月1 1日开始，有一新款服装投入某商场销售日开始，有一新款服装投入某商场销售.4.4月月1 1日该款服装日该款服装售出售出1010件，第二天售出件，第二天售出2525件，第三天售出件，第三天售出4040件，以后每天售出的件数分件，以后每天售出的件数分别递增别递增1515件，直到件，直到4 4月月1212日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减分别递减1010件件.(1)(1)记从记从4 4月月1 1日起该款服装日销售量为日起该款服装日销售量为a an n,销售天数为销售天数为n,1n30,n,1n30,求求a an n与与n n的关系；的关系；(2)(2)求求4 4月份该款服装的总销售量；月份该款服装的总销售量；(3)(3)按规律，当该商场销售此服装超过按规律，当该商场销售此服装超过1 2001 200件时，社会上就开始流行，件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100100件时，则此服装在社会件时，则此服装在社会上不再流行上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过1010天？说明理天？说明理由由.【审题指导审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】【规范解答】(1)(1)设从设从4 4月月1 1日起该款服装的日销售量构成数列日起该款服装的日销售量构成数列aan n.由题意知，数列由题意知，数列a a1 1,a,a2 2,a,a1212是首项为是首项为1010，公差为，公差为1515的等差数的等差数列，列，aan n=15n-5(1n12=15n-5(1n12且且nNnN*).).而而a a1313,a,a1414,a,a1515，,a,a3030是首项为是首项为a a1313=a=a1212-10=165,-10=165,公差为公差为-10-10的等差数列，的等差数列，aan n=165+(n-13)(-10)=-10n+295(13n30=165+(n-13)(-10)=-10n+295(13n30且且nNnN*).).aan n=(2)4(2)4月份该款服装的总销售量为月份该款服装的总销售量为 +18a +18a1313+=2 550(=2 550(件件).).(3)4(3)4月月1 1日至日至4 4月月1212日的销售总量为日的销售总量为 =1 1101 200,=1 1101 200,44月月1212日前该款服装在社会上还没有流行日前该款服装在社会上还没有流行.由由-10n+295100,-10n+295 n 第第2020天该款服装在社会上不再流行天该款服装在社会上不再流行.该款服装在社会上流行没有超过该款服装在社会上流行没有超过1010天天.