不定积分求解方法及技巧.docx

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一不定积分的概念与性质 定义定义 1 1如果 F（x）是区间 I 上的可导函数，并且对任意的 xI，有 F(x)=f(x)dx则称 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数原函数。定理定理 1 1（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果函数 f(x)在区间 I 上连续，那么 f(x)在区间 I 上一定有原函数，即存在可导函数 F（x），使得 F（x）=f(x)（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数 定理定理 2 2 设 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，则（1）F（x）+C 也是 f(x)在区间 I 上的原函数，其中 C 是任意函数；（2）f(x)在 I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义定义 2 2 设 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 f(x)的全体原函数 F（x）+C 称为 f(x)在区间 I上的不定积分不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+Cf(x)d(x)=F(x)+C 其中记号称为积分号积分号，f(x)称为被积函数被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式被积表达式，x 称为积分变量变量，C 称为积分常数常数。性质性质 1 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数，则f(x)g(x)dx=f(x)g(x)dx=f(x)dxf(x)dxg(x)dx.g(x)dx.性质性质 2 2 设函数 f(x)存在原函数，k 为非零常数，则kf(x)dx=kkf(x)dx=kf(x)dx.f(x)dx.二换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx 不容易直接求出，但被积函数可分解为 g(x)=f(x)(x).做变量代换 u=(x),并注意到（x）dx=d(x),则可将变量 x 的积分转化成变量 u 的积分，于是有g(x)dx=f(x)(x)dx=f(u)du.如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx 的计算问题就解决了，这就是第一类换元法第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理定理 1 1 设 F(u)是 f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式 f(x)f(x)(x)dx=(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一类换元法是通过变量代换 u=(x),将积分f(x)(x)dx 化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx 化为f(t)(t).在求出后一积分之后，再以 x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法第二类换元法。即 f(x)dx=f(t)(t)dt)(1Xt.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数 t=（x）存在的条件，给出下面的定理。定理定理 2 2 设 x=(t)是单调，可导的函数，并且（t）0.又设 f(t)(t)具有原函数 F（t）,则f(x)dx=f(x)dx=f(t)f(t)(t)dt=F(t)+C=F(x)+C(t)dt=F(t)+C=F(x)+C 其中（x）是 x=（t）的反函数。三常用积分公式 1 基本积分公式（1）kdx=kx+C(k 是常数)；（2）xdx=1ux1u+C(u-1);（3）xdx=lnx+C；（4）2x1dx=arctanx+C;(5)2x1dx=arcsinx+C;(6)cosxdx=sinx+C;(7)sinxdx=-cosxC;(8)x2cosdx=secxdx=tanx+C;(9)xdx2sin=cscxdx=-cotx+C;(10)secxtanxdx=secx+C;(11)cscxcotxdx=-cscx+C;(12)edx=e+C;(13)adx=e+C;(14)shxdx=chx+C;(15)chxdx=shx+C.(16)tanxdx=-lncosx+C;(17)cotxdx=lnsinx+C;(18)secxdx=lntanxsecx+C;(19)cscxdx=lnxcotcscx+C;(20)22xadx=axxlna1a+C;(21)22xadx=arcsinax+C;(22)22xadx=ln(x+22ax+C;(23)22axdx=ln22axx+C.四解不定积分的基本方法 四求不定积分的方法及技巧小汇总四求不定积分的方法及技巧小汇总 1.利用基本公式。（这就不多说了）2.第一类换元法。（凑微分）设 f()具有原函数 F()。则 CxFxdxfdxxxf)()()()()(其中)(x可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)ln)1(ln(xxxxxx Cxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例 2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln122 3.第二类换元法：设)(tx是单调、可导的函数，并且)()(.0)(ttft又设具有原函数，则有换元公式 dtttfdxf)()(x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；：；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222 也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2 4.分部积分法.公式：dd 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！例 3：dxxxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则 tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccos CxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332 例 4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsin Cxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222 上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm 将以上规律化成一个图就是：但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221 5.几种特殊类型函数的积分。（3）有理函数的积分 有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：时，记得用递推公式：121222)1(232)(1(2nnnInanaxnaxI）例 5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxx 2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxx CxxCddd)1(1111)1(11()1()1()1(122222222222 故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分 （lnx arcsinx）Pm(x)（ax sinx)万能公式：万能公式：2tan12tan1cos2tan12tan2sin222xxxxxx 化为有理函数可用变换2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成xxxxsincoscossin或。再用待定系数xbxaxbxaBxbxaAsincos)sincos()sincos(来做。（3）简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令 x=sint；同时出现xxarccos12和时，可令 x=cost 等等。学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。