1、 高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 专 题双曲线及其标准方程目 标掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念重 难 点双曲线的定义和标准方程常 考 点求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1xOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴
2、，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通 径（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（5）常用结论： 双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，线段AB的长度为,则的周长= 设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 第二部分 例题解析考点一：求双曲线的标准方程例1：讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）过点，且焦点在坐标轴上。（2），经过点（5，2），且焦点在轴上。
3、（3）与双曲线有相同焦点，且经过点考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程例3：已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。例4：在中，且，求点的轨迹。例5：求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点。（2）与和都外切。（3）与外切，且与内切。考点三、双曲线定义的运用例6、已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，求的大小。例7、已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，求的面积。考点四、中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例题8 已知双曲线，过A（2，1）的直线
4、与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 第三部分 巩固练习一、选择题：1、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 2、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3、设O为坐标原点，是双曲线（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足P60，OP，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. xy0 B. xy0C. x0 D. y04、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另
5、一条直线的平面内的轨迹是（ ）A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线5、已知双曲线的一条渐近线方程是y，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 6、已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，则（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题：7、点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则_ 8、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。10、若双曲线1（b0）的渐近线方程为y，则等于 。巩固练习 参考答
6、案：1、C 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出a与b之间的等量关系，由此可知答案选C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。2、D 解析：不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：，则一个焦点为，B（0，b）。一条渐近线的斜率为：，直线FB的斜率为：，解得。3、D 解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。4、D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除D。5、B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。依题意知，所以双曲线的方程为6、B 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】由余弦定理得cos【解析2】由焦点三角形面积公式得：7、2 解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到a2，c6，8、 9、解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知因为抛物线的焦点为（4，0），所以c4 又 联立，解得，所以双曲线的方程为10、1解析：由题意知，解得b1。全 品中考网8
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