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新概念形
一、选择题
1．（2010安徽蚌埠）记=，令，称为，，……，这列数的“理想数”。已知，，……，的“理想数”为2004，那么8，，，……，的“理想数”为
A．200４ B．2006 C．2008 D．2010
【答案】C
2．（2010浙江杭州）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 –m , –1–m]
的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m¹ 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【答案】B
3．（2010浙江宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它
奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作
(A)欧几里得 (B)杨辉 (C)笛卡尔 (D)刘徽
【答案】A
4．（2010 山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分
(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行

【答案】B
5．（2010鄂尔多斯）定义新运算： a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是

【答案】B
6．（2010四川达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n），规定以下两种变换：
①，如；
② ，如.
按照以上变换有：，那么等于
A.（3，2） B.（3，-2）
C.（-3，2） D.（-3，-2）
【答案】A
二、填空题
1．（2010安徽蚌埠）若表示不超过的最大整数（如等），则
_________________。
【答案】2000
2．（2010湖南常德）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数.
则（1）= ；全品中考网
（2）此数表中的四个数满足
=.
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
图3

【答案】（1）0 （2）0
3．（2010 重庆江津）我们定义，例如＝２×５－３×４＝10－12＝－２．若、均为整数，且满足１＜＜３，则的值是_________．

【答案】
4．（2010广西南宁）古希腊数学家把数叫做三角数，它有一定的规律性．若把一个三角形数记为，第二个三角形数记为，第个三角形数记为，计算， ，由此推算， ，．
【答案】100，5050
三、解答题
1．（2010安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:、、、、 、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。
图一
⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑵ 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
图二
…
共n个正方形
⑶ 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

图三

⑷
共
m
个正方形相连
作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值。
共n个正方形相连

【答案】⑴
⑵
图四
⑶=34
⑷=2（）+4（）
2．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

【答案】⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴……………………………5分
⑵解法一：∵
∴∽……………………………8分
∴
∵
∴ （或）……………………………10分
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） 　　 ……………………………12分
解法二：在方形环中，

又∵
∴∥
∴
在与中，

即 （或）　　　……………………………10分
①当时，
②当时，
则 （或） 　　　　　……………………………12分
3．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,
叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与
x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.
A
y
O
B
x
第21题图

【答案】
解：(1) ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2) 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时,，得b =4，此时,坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b =－4，此时,坐标三角形面积为. 全品中考网
综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．
4．（2010 浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
　　若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.

②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
（第22题）
y
O
图2
Q（5, 5）
P（2, 3）
y
O
图1
1
1
x
x

【答案】
（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． ………………………………………………2分
y
O
1
1
x
A
B
C
{1，2}+{3，1}={4，3}． ……………………………………………………………………2分
（2）①画图 …………………………………………………2分
最后的位置仍是B．……………………………………1分
②证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
∴OC=AB==，OA=BC==，
∴四边形OABC是平行四边形．…………………………3分
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．……………………2分
5．（2010 江苏连云港）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
AD
BAD
EBAD
CFEBAD
DQFEBAD
图1
AD
BAD
CFEBAD
DQFEBAD
图2

【答案】