江苏省宿迁市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题.doc

宿迁市2017—2018学年度高二第一学期期末数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
（第6题）
开始
S←0,n←1
n <4
n←n+1
输出S
结束
Y
N
1．写出命题“”的否定： ▲ ．
2．抛物线的准线方程是 ▲ ．
3．直线和圆的公共点个数为 ▲ ．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．
I←1，S←0
While I<9
S←S+2I
I←I+3
End While
Print S
（第4题）

5．已知长方形中，，，为的中点，若在长方形内随机取一点，则的概率为 ▲ ．
6．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S为 ▲ ．[
7．已知一组数据，8，7，9，7，若这组数据的平均数为，则它们的方差为 ▲ ．
8．以为圆心且与圆外切的圆的标准方程为 ▲ ．
9．若函数的图象在点处的切线方程为，则
的值为 ▲ ．
10．已知双曲线与有公共渐近线，且一个焦点为，则双曲线的标准方程为 ▲ ．
11．已知，则“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的 ▲
条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．
12．函数在上的最大值是 ▲ ．
13．已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
14．已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知命题，命题点在圆的内部．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．

16．(本小题满分14分)
某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司
（第16题）
用电量/度
0.0006
0.0008
0.0014
0.0018
200
400
600
800
1000
1200
0.0002
0
获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．

组号
分组
频数
频率
1
[0,200)
2
0.04
2
[200,400)[来源:Zxxk.Com]
e
f
3
[400,600)
14
0.28
4
[600,800)
c
d
5
[800,1000)
a
b
6
[1000,1200]
4
0.08

（1）求a，b的值；
（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户 ．
①求第5、6两组各取多少户？
②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户
月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率．

17．(本小题满分14分)
如图，已知圆，点．
(1)求经过点且与圆相切的直线的方程；
(2)过点的直线与圆相交于两点，为线段的中点，求线段长
（第17题）
A．
x
O

M．
y
度的取值范围．

[来源:学科网]

18．(本小题满分16分)
某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，
先在其中相邻两个角处各切去一个边长是的正方形，然后在余下两个角处各切去
一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个
有盖的长方体包装盒．
60
（第18题）

[来源:学科网ZXXK]

(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？

19．(本小题满分16分)
已知椭圆的左焦点为,且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知分别为椭圆的左、右顶点,为直线上任意一点，直线分
别交椭圆于不同的两点．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．

y
A1
x
O
Q
M
．
F1
A2
N
（第19题）

20．(本小题满分16分)
已知函数,其中为正实数．
1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有两个极值点，求证：．

高二数学试题参考答案与评分标准
1． 2． 3． 2 4． 24
5． 　 6． 7． 8．
9． 10． 11．必要不充分 12．
13． 14．
15．（1）因为恒成立，
则， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
　　　解得，所以实数的取值范围是． ．．．．．．．6分
（2）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题． ．．．．．．．8分
当为真命题时，，解得，
所以为假命题时 ．．．．．．．10分
由（1）知，为假命题时 ．．．．．．．12分
从而，解得
所以实数的取值范围为 ．．．．．．．14分
16．（1）频率分布直方图，知第5组的频率为，即 ．．2分
又样本容量是50，所以．………………………………………………4分
（2）①因为第5、6两组的频数比为，
所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，
第5、6两组的频数分别为3和2．………………………6分
②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件，
第5组的3户记为，第6组的2户记为，
从这5户中随机选出2户的可能结果为：，共计10个，………9分
其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：
，共计7个．………………………………12分
所以，
答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为．…14分
17．（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．……………2分
当切线的斜率存在时，设：，即，
圆心到切线的距离等于半径3，
，解得．……………… 4分
切线方程为，即
故所求直线的方程为或．………………6分
（2）由题意可得，点的轨迹是以为直径的圆，记为圆． ……………8分
则圆的方程为．………………10分
从而， …………12分
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．……………14分
18．（1因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，
所以铁皮箱的体积．……………4分
函数的定义域为．………………………………………………6分
（2）由（1）得，，
令，解得．…………………………………10分
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．………………………12分
所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值．
又．…………………………15分
答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．………16分

19．(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, ．．．．．2分
由椭圆的定义知:，代入计算得． ．．．．．．．4分
又, 所以椭圆的标准方程为． ．．．．．．．6分
(2)设，
则直线，与联立，解得 8分
同理 ．．．．．．．10分
所以直线的斜率为= ．．．．．．．12分
所以直线．．14分

所以直线恒过定点，且定点坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
20．(1)因为，所以，．．．．．．．．2分
则,所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(2)，函数的定义域为，

若,即,则,此时的单调减区间为;6分
若,即,则的两根为,．．．．．．．．．．8分
此时的单调减区间为,,
单调减区间为．．．．．．．．．．．．．10分
(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．
因为

要证,只需证．．．．．．．．．．．．12分
构造函数，则，
在上单调递增,又,且在定义域上不间断,
由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．．．14分
则在上递减,上递增,所以的最小值为．
因为,
当时,,则,所以恒成立．
所以,所以，得证．．．．16分

第 6 页 共 6 页