人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题.doc

高一数学必修5《数列》复习提纲
《数列》复习
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用与的关系求：
（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法

2.等差数列中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；
（2）；
（3）也成等差数列；
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)仍成等差数列.
（6），，，
，.
(7)若，则若，则
，
；.
(8)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；
（9）等差中项：若成等差数列，则叫做的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
（2）；
（3）、成等比数列；成等比数列成等比数列.
（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）成等比数列.
（6）.
（7）；.
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。
（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法

4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式
③，，
，.
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前和公式的推导方法之一）.
(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
②，
③

【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列满足.
（1）求；
（2）证明：.
解：（1）.
（2）证明：由已知，故
， 所以证得.

例题2. 数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.
解：（Ⅰ）由可得，
两式相减得：，
又∴ 故是首项为1，公比为3的等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得
故可设，又，
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴ ∴
∴

例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列是等差数列.
⑴求数列与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由.
点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.
（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.
解：（1）已知…）①
时，…）②
①－②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*）.
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为，
∴，

）.
（2），
当时，单调递增，且，
所以时，，
又，
所以，不存在，使得.

例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn
解： 依题意得：
2bn+1 = an+1 + an+2 ①
a2n+1 = bnbn+1 ②
∵ an、bn为正数， 由②得，
代入①并同除以得： ，
∴ 为等差数列
∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ，
∴ ，
∴当n≥2时，，
又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质
例题5. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）时，.而为等比数列，得，
又，得，从而.又.
（2），
） ，得，
.

例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足
，
（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.
解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，
∴，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为.
（2）由（1）当时，，当时，，
∴当时，
当时，

∴.

例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.
（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）
∴an=2·2（n－1）=2n
（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）
∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，
若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，. 函数.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较
的大小.
解：（I）成等差数列，① 当时，②.
①－②得：，，
当n=1时，由①得， 又
是以1为首项3为公比的等比数列，
（II）∵，，
，

比较的大小，只需比较与312 的大小即可.

∵∴当时，
当时，
当时，.

3. 研究生成数列的性质
例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；
（II） 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列.
解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有
（cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），
将cn=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2
=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，
即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.
为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3.
事实上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，
c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此c1·c3，故{cn}不是等比数列.

例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，
求S=a11 + a22 + a33 + … + ann
解： 设数列{}的公差为d， 数列{}（i=1，2，3，…，n）的公比为q
则= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1
依题意得：，解得：a11 = d = q = ±
又n2个数都是正数，
∴a11 = d = q = ， ∴akk =
，
，
两式相减得：

例题11. 已知函数的图象经过点和，记
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求的最小值；
（3）求使不等式对一切均成立的最大实数
解：（1）由题意得，解得，

（2）由（1）得， ①
② ①－②得
. ，
设，则由

得随的增大而减小
时，又恒成立，
（3）由题意得恒成立
记，则

是随的增大而增大
的最小值为，，即.

（二）证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
例题12. 数列中，且满足，.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，

时，

故
（3），

若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7.
即存在最大整数使对任意，均有

例题13. 已知等比数列与数列满足N*.
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若.
解：（1）设的公比为q，∵，∴。
所以是以为公差的等差数列.
（2）∵所以由等差数列性质可得
…

2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列和满足：，，，（），
且是以为公比的等比数列.
（I）证明：；
（II）若，证明：数列是等比数列；
（III）求和：.
解法1：（I）证：由，有，.
（II）证：∵，

.
是首项为5，公比为的等比数列.
（III）解：由（II）得，，于是

.
当时，.
当时，
.
故
解法2：（I）同解法1（I）.
（II）证： ，又，
是首项为5，公比为的等比数列.
（III）由解法1中（II）的类似方法得，
，
，.
∴.

例题15. 设数列
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列的通项公式；
（3）设，，求数列的前n项和Ｔn.
（1）证明：由
相减得：∴数列是等比数列
（2）解：
是首项为，公差为1的等差数列，∴. .
（3）解：时
①
②
①－②得：
∴
所以：.

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