四边形中的动点问题(带答案).doc

四边形中的动点问题
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________ 

2、如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________

3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________

4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. 
(1)求证：AE＝DF； 
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由

5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，
（1）求证：△ADE≌△CDF；：
（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形； 

6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上 （1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB； （2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明

7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． 
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形； 
（2）填空： ①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；
 ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明； 
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． 
（1）BD的长是______； 
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______

10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．

11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． 
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形； 
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； 
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。 
 （1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； 
（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由。

四边形中的动点问题
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________ 

2、如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________

3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________

4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. 
(1)求证：AE＝DF； 
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由

解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，∴AE＝DF. 
(2)能．理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF. 
又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形． 
当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t. 解得t＝10 s， 
∴当t＝10 s时，四边形AEFD为菱形． 
(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°. ∵∠A＝60°，
∴∠AED＝300. ∴AD=t,又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.
 ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形． 在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°. 
∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝15/2 s. 
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 
综上所述，当t＝15/2 s或t＝12 s时，△DEF为直角三角形．

5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，
（1）求证：△ADE≌△CDF；：
（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形； 

试题分析：由题意得：AE=t，CF=2t-6．
若四边形ACFE是菱形，则有CF=AE=AC=6，则t=2t-6，解得t=6．
所以，当t=6时，四边形ACFE是平行四边形；
6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上 （1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB； （2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明

（1）证明：连接AC，如下图所示：
在菱形ABCD中，∠B=60°，∠EAF=60°，△ABC和△ACD为等边三角形，
∴，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC+CF=DF+CF=CD=AB．
（2）解：线段EC、CF、AB的关系为：CF-CE=AB．
解析分析：（1）已知∠B=60°，不难求出∠ABC，∠DAC的度数为60°，从而进一步求得△ABC，△ACD为正三角形，从而证明△AEC≌△AFD，图1得出EC+CF=AB、
（2）图2先证明△ADF≌△ACE，DF=CE，CF=CD+DF=CE+BC，得出CF-CE=AB．
7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． 
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形； 
（2）填空： ①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；                 
 ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点， ∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，
8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明； 
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

解：（1）OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． 
（1）BD的长是______； 
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______

10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．

如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
DE=，∴OD的最大值为：。故选A。

11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． 
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形； 
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； 
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。 
 （1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； 
（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由。

解：（1）是。理由：在平行四边形ABCD中，则OD=OB，OA=OC，
∵A、C两点移动的速度相同，即AE=CF，∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形。
（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形。

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