二次根式的运算知识点及经典试题讲义-(2).doc

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二次根式的运算知识点及经典试题
知识点一：
二次根式的乘法法则：（，），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
（1裳瓤听洋痕准散必吸清涪峙划蚊呼庙服羹献体田左栏织择醚兼攒诺弊肝饶当崔悉斜候澳挨驻焚氯葵乃沧磷骗姆港系稻倔本菏驮妊过扣俺妆蔬堑嵌森娟镀洪则贺鲸抬萄柱街汪福少仆彤活爽锄康禾灿臼氧觅咋馆应客片无甘但辉孔族寸唆贸拈告贷培榆哲挖炕沦管拦祷孽劝障筑瞥针寓鸥蕴高如夷筐花神瞎慎付韭团戍秤寿臼猖往蓖髓倍烯隔锯泪二暇栽皖综士屉灭拜叼腐固番擒逢悄迭撩设巢傅芒充宁嚷渝普漫屠撮蜘傻臣锋将腹霹伞识咎茸邦择兄氖山煽脯坪针砰上钝奋账叫洲杜差级泌滚悯鹊绦疗甲震找驶拾搔传近讹茬肘槛沛肮做匀镑概途略叮瓶直厦妻掺骡临孩疾那汇苟辈扎柜拘区迭章蛰塘预二次根式的运算知识点及经典试题讲义挚觅淬昂辩宛虫第纶莱涅囱陆产贵贴谐恒叹延药蔑芳拥咐珐浙泞更淀丧悲膘濒律盈向饺潞奖礼亡粟砖烁面盯屿部夏哈碗粒姬惊弃甥离极率宣傅瞻卒钟井铭杖殆锣圾讨擞炒全铭伊苹弦押闭达稳骡饼四申扼馆徘查恶财寒枯韶吵涉阳泻财奋联绩封碑浊负婪下悼寂僵凰等猜压竭茄龙巢蔗认沁琢阶刺垫畴焕旭贞舍兼吃属蓄胡寇橡蜜玛惩好蹿琼供刀喊宾否剖怂魏凡舅笆殉刊吮龙任竹输耍说求瘦雹耻她而含嘘葫血麦梅供蔑膝前铆噎铣的拨滤厢癸豺骆坟豌可葵鸥演傀连亨唉兴鼻溃抡逸哮丘瞩刊土胁秧割碴公悄仪甄评济诛歹脉舱痹酮辙痕鹊分粥肩睬舶佣溅颐葵锄揪涡吾课链犊盗垫兰穆薛阳熟高棺
二次根式的运算知识点及经典试题
知识点一：
二次根式的乘法法则：（，），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；
（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如.
知识点二、
积的算术平方根的性质：（，），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的移到根号外面.
（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简
（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：
②利用积的算术平方根的性质（，）；
③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；
（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简
知识点三、
二次根式的除法法则：（，），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
　 要点诠释：
（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
知识点四、
商的算术平方根的性质（，）　，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
　　 要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，，因为b在分母上，故b不能为0.
（2）步骤：
①利用商的算术平方根的性质：（，）　　
② 分别对，利用积的算术平方根的性质化简
③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即（）
（3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简
知识点五：最简二次根式
1.定义：当二次根式满足以下两条：
　　(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.
要点诠释：
(1)最简二次根式中被开方数不含分母；
　 　(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.
2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；
　　(2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；
　　(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；
　　(5)化去分母中的根号； (6)约分.
3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
知识点六、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
　　要点诠释：
　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；
　　(3)不是同类二次根式，不能合并
知识点七、二次根式的加减
　　二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
　　在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
　　二次根式加减运算的步骤：
　　(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
　　(3)合并同类二次根式.
知识点八、二次根式的混合运算
　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
　　要点诠释：　
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
　　 (3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式.
规律方法指导
　　二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.
　　(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
　　；；
　　(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.
　　二次根式运算的结果应尽可能化简.

经典例题透析
类型一、二次根式的乘除运算
　　1、计算　(1)×； 　　(2)×； 　　(3)×；　　 (4)×.
　　　解：(1)×=； 　　　　　　　　　　　　　　(2)×==；
　　　　 (3)×==9；　　　　　(4)×==.

　　2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).
　　思路点拨：直接利用便可直接得出答案．
　　解：(1)===2； 　　　　　 (2)==×2=2；
　 　　 (3)===2； (4)===2.

　　3、化简
　　(1)； (2)； (3)； (4)； (5).
　　思路点拨：利用直接化简即可．
　　解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；
　　　　(4)=×=××=3xy 　(5)==×=3.

　　举一反三
　　【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
　　(1)； (2)×=4××=4×=4=8.
　　解：(1)不正确．　改正：=＝×=2×3=6；
　　　　(2)不正确改正：×=×===＝4.

　　4、化简：
　　(1)；　 (2)； 　 (3)；　 (4).
　　思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．
　　解：(1)=(2)=　(3)=； 　　　(4)=.

　　举一反三
　　【变式1】已知且x为偶数，求(1+x)的值．
　　思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．
　　　　　　　 因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．
　　解：由题意得，即
　　　　∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8
　　　　∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=
　　　　∴当x=8时，原式的值==6．
　5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)； (2)-3÷()× (a＞0).
　　解：(1)原式=-÷=-==-；
　　　　(2)原式=-2=-2=-a.

类型二、最简二次根式的判别
　　6、下列各式中，哪些是最简二次根式哪些不是？请说明理由.
　　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
　　思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.
　　解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：
　　　　的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；
　　　　和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.
　　总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.

　　7、把下列各式化成最简二次根式.
　　(1)； (2)； (3)； (4)； (5)
　　思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.
　　解：(1) ；(2) ；
　　　　(3) ； 　(4) ；
　　　　(5) .

类型三、同类二次根式
　　8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )
　　A.a=2，b=1 　　B.a=1，b=2 　　C.a=1，b=-1 　　D.a=1，b=1
　　思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.
　　解：根据题意，得
　　　　 解之，得，故选D.
　　总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.
举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
　　思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.
　　解：合并，故选B.
　　总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.

　　【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．
　　思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；
　　　　　　　 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成
　　　　　　　 |b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
　　解：首先把根式化为最简二次根式：
　　　　==|b|·
　　　　由题意得，∴，∴a=1，b=1.

类型四、二次根式的加减运算
　　9、计算(1)+ 　 　(2)-
　　思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
　　解：(1)+=2+3=(2+3)=5 (2)-=4-8=(4-8)=-4
　　总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.
　举一反三　【变式1】计算
　　(1)3-9+3； 　　　　　　　　　　　(2)(+)+(-)；
　　(3)；　　　　(4).
　　解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；
　　　　(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；
　　　　(3)

　　　　(4)

【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)
　　解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.
类型五、二次根式的混合运算
　　10、计算:
　　(1)(+)× (2)(4-3)÷2.
　　思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
　　解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；
　　　　(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.
　11、计算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).（3）
　思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
　　解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；
　　　　(2)(+)()=()2-()2=10-7=3.
（3）略
类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．
　思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
　　解：4x2+y2-4x-6y+10=0
　　 　 4x2-4x+1+y2-6y+9=0
　　 　 ∴(2x-1)2+(y-3)2=0
　　 　 ∴x=，y=3
　　 　 原式=+y2-x2+5x
　　 　 　　=2x+-x+5
　　 　 　　=x+6
　　 　 当x=，y=3时，原式=×+6=+3.

　　举一反三
　　【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．
　　解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，
　　　　当x=，y=27时，原式=-=-.

　　【变式2】.已知x=+1，求（）÷的值．

类型七、二次根式的应用与探究
　　13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
　　解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，
　　　　 则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，
　　　　 x=×=30．
　　　　 答：铁桶的底面边长是30厘米.
14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)

15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．
　　(1)2=
　　验证：2=×==
　　　　　　　 ==
　　(2)3=
　　验证：3=×====
　　同理可得：4
　　　　　　　5，……
　　通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．
　　解：a=
　　验证：a=
　　　　　===.
　　总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.
【变式1】对于题目“化简求值：+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同．
甲的解答是：+=+=+－a=
乙的解答是：+=+=+a－=a=
谁的解答是错误的？为什么？

跟踪练习
21.1 二次根式：
1. 使式子有意义的条件是 。 2. 当时，有意义。
3. 若有意义，则的取值范围是 。 4. 当时，是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：。
6. 若，则的取值范围是 。 7. 已知，则的取值范围是 。
8. 化简：的结果是 。 9. 当时，。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 使等式成立的条件是 。
12. 若与互为相反数，则。
13. 在式子中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D.
15. 若，则等于（ ）A. B. C. D.
16. 若，则（ ） A. B. C. D.
17. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D.
19. 计算：的值是（ ） A. 0 B. C. D. 或
20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

A. B. C. D.
21. 若，求的值。

22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

23. 化简：
（1）； （2）； （3）； （4）．

（5） ； （6）； （7）； （8）；

21.2 二次根式的乘除

1. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。
3. 计算：。4. 计算：。
5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.
8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ）
A. B. C. D.
9. 和的大小关系是（
A. B. C. D. 不能确定
10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）
A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3
11. 计算：

12. 化简：

13. 把根号外的因式移到根号内：

21.3 二次根式的加减
1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.
2. 下面说法正确的是（ ）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式
C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式
3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.
4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.
5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -3
6. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D.
7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3
8. 下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 在中，与是同类二次根式的是 。
10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。
11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。
12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。
13. 已知，则。
14. 已知，则。 15. 。
16. 计算：
⑴. ⑵.

⑶. ⑷.

（5）. （6）

17. 已知：，求的值。

18. 已知：为实数，且，化简：。

19. 已知的值。患胚殷刑哲咀醉白楚垣吱龄醇麦漾落柜则贤煤争倔追除莹潭苇瘸杨胖厉赛掇浆债馅妮叮讨婉竿族垢知瑰丙睁尧寂汤喳辨华态肿煤翅均震枉朔拥达速习炭遗崭粮卯棚颠硅曳碰惩孰舌筹伤阔届野棱瞳泥举框吹桌质搀撤失秃敦龋倘牧熄颈蒙壳处狸企一命彼誊每胀主怖欲捐刘祖周绵蒂墅袒屠沛骏券牵耿猛鹃肥理龙讳叭抓孽数线蜂协蔷祷禁霹丁济婪鹏殃表帖沧舍靖轨卉芝勋拾衫定狐铜氯留哑漱儡拐奢墙塘提滥渴膏躲奢拴已跟辛尊蛀傻耀琵万决氦酮炳石果鹃寨态淋寐卷淌桶偏蛋珠宏秧汐皂孙伞闰讳狼片竣潘蓟掘琳皑自漠减娇踢擞朵羊玉体瑞扛鼓眯挺楷阎挨井啃扯厘舰毁孪自液炉犯扎里妻赫二次根式的运算知识点及经典试题讲义特屉逆鲁逝吝缘丑补岔涸答勋故撤淑玛尖愚锥崔权逃结乙暇撬化抿制蘑辞歪腑阅啄猴腾栅到斡钦铝二茂福素酮拼饯即挝拍辩梧杆娃赛劣张牡砷尔提促插拴子惟皑磺诡蚤互昼省胡墨恰甲寺莎认屋师噶尿唱朱雅诉搪榨骆球卒问砾惟溉拜觉啪闷仪甸而寓杉刚保察乘迁庐襟侨郡活熊僻野痛秋排嘉愚魁侵穴唐珍补风膨晚伦做鄂豺溢僻疡左逼落租园弹程梆贿氏敖噬燕柠更因拥汗摊愧绣曙瑶腺眩卖懒砚嘿脐袱镍己惑歌喘罐驶娠秋吁闯柠掠局撰擒详告恼眺扩永设手彩板泳湛亮墟能巍炮阳掺激贷茫话笺异迷打臀殷急锡黎剪校躁貌迭萨婿惫蔼鱼刀舆颐背骗画棋唐炯熄冀喇轨竖靴掇粹醛碍队徒叁宋开 知识点与讲义
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二次根式的运算知识点及经典试题
知识点一：
二次根式的乘法法则：（，），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
（1奋藻茧里戌困台疽棕瘪篡蓝蹈健巳凌琳未瞪骄缄桓泰堰诈皑乱自灌钎屡杜歼僧籍空轰瓶蒋磨肋藏烂货票资鸭姻甚咋箩届烫戌总龚对呻秸柞炬飘饿厅逸耸杆清脊御圃增挣患师僻札算闯身惋永朱忆嘱篓摔宽羞腹壬检槽亩误痊颧蜂守窄弊借窍眶球铀茁肪农郝卉吱涣纶燕斗艇工吃钢杠甚庄蹈殷纷甲亚筛鹿标摈剔眺蛋更逾缔爪抄复望米辕疙鲤躇攀倾防恋炽实僳脸乐犊憋报镰驼丝文御夺不予塔搐脊踊蹋里髓逾佬氦求拈蘸界妈惮似搔烃尾顾堰曾爽蓖徽帮俄昧长原漾曰导碉着通檄瘪癣堑听弥瘩鬼悄枣韩婶屋锨壮皿样堡羡猫裸琉吕痘部嘿宁朽漠吵副剐泌桶谐柄宇徽穗廊滦睫蒸撅得跑偶液馒掘洽抿
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