微积分初步辅导.doc

微积分初步课程教学辅导
微积分初步网上教学活动文本（2007.12.12）
各位老师、各位同学大家好！现在这个时间是我们微积分初步课程的期末复习辅导时间.为了搞好课程的期末复习，我们在这里举行教学活动，主题是期末复习答疑，并采取视频答疑的方式对课程的教学要求、考试要求以及同学在学习和复习中的问题给予指导和解答.这次课程主要是期末辅导及答疑，希望各电大的老师关注一下我们的期末复习课程，引导学生理解并掌握相应的教学内容.
第一部分 课程的考核说明
考核对象：中央广播电视大学数控技术等专业的学生.
考核形式：平时作业考核和期末考试相结合.
考核成绩：满分为100分，60分为及格，其中平时作业成绩占考核成绩的20%，期末
考试成绩占考核成绩的80%.
考试范围：期末考试命题限定在《微积分初步》课程教学要求所指定的范围.
考试目的：旨在测试学生对微积分初步课程所包含的数学基本知识的理解，以及运用所学习的数学方法解决实际问题的能力.
　　命题原则：在课程教学要求所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，并在此基础上突出重点.
　　考试形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟.
考试要求：考生不得携带除书写用具以外的其它任何用具.
参考教材：本课程的文字教材《微积分初步》（赵坚 顾静相主编，中央电大出版社出版） 参考资料：课程作业（四次），课程教学辅导文章、IP课件及课程期末复习指导.
试题类型：单项选择题、填空题、计算题和应用题.
单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题和应用题要求写出演算步骤。
四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%.

第二部分 课程的考核要求及典型例题
一、函数、极限与连续

（一）考核要求
1.了解常量和变量的概念理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.
2.了解极限概念，会求简单极限.
3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点.
（二）典型例题

1．填空题
（1）函数的定义域是　　　　　　　　．
答案：且.
（2）函数的定义域是　　　　　　　　．
答案：
（3）函数，则 ．
答案：
（4）若函数在处连续，则　　 ．
答案：
（5）函数，则　　 ．
答案：
（6）函数的间断点是　　 　　　　．
答案：
（7）　　　　　．
答案：1
（8）若，则　　　　　．
答案：
2．单项选择题
（1）设函数，则该函数是（　）．
　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案：A
（2）下列函数中为奇函数是（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
（3）函数的定义域为（ ）．
A． B． C．且 D．且
答案：D
（4）设，则（ ）
A．　　 B． 　
C．　　　 D．
答案：C
（5）当（ ）时，函数在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
答案：D
（6）当（ ）时，函数，在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
答案：B
（7）函数的间断点是（ ）
A． B．
C． D．无间断点
答案：A
3．计算题
（1）．
解：
（2）
解：
（3）
解：
二、 导数与微分
（一）考核要求
1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.
2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.
3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.
4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法.
（二）典型例题

1．填空题
（1）曲线在点的切斜率是　　　　　　　　．
答案：
（2）曲线在点的切线方程是　　　　　　　　 ．
答案：

（3）已知，则=　　　　　　　　．
答案：
=27（
（4）已知，则=　　　　　　　　．
答案：，=
（5）若，则 ．
答案：

2.单项选择题
（1）若，则=（　 ）．
　　A. 2　 B. 1 　C. -1　　 D. -2
答案：C
（2）设，则（　 ）．
A． B． C． D．
答案：B

（3）设是可微函数，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D

3．计算题
（1）设，求．
解：
（2）设，求.
解：

（3）设，求.
解：
（4）设，求.
解：
三、导数应用
（一）考核要求
1.掌握函数单调性的判别方法.
2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.
3.掌握求函数最大值和最小值的方法.
（二）典型例题
1．填空题
（1）函数的单调增加区间是　　 　　．
答案：
（2）函数在区间内单调增加，则应满足 ．
答案：
2．单项选择题
（1）函数在区间是（ ）　
A．单调增加　　 B．单调减少
C．先增后减　 D．先减后增
答案：D
（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
答案：C
（3）下列结论中（ ）不正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．在处不连续，则一定在处不可导.
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．函数的极值点可能发生在不可导点上.
答案：Ａ
（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．
A． B． C． D．
答案：B
3．应用题（以几何应用为主）
（1）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为

由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省．
（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为 （元）
（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省．
请结合作业中的题目复习。

四、 一元函数积分
（一）考核要求
1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.
2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.
3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
（二）典型例题
1．填空题
（1）若的一个原函数为，则 .
答案：
（2）若，则　　　　　．
答案：
（3）若
答案：
（4） ．
答案：
（5） ．
答案：
（6）若，则　　　　　．
答案：
（7）若，则　　　　　．
答案：
（8）
答案：
（9）　　　 　　　.
答案：0
（10）=　　　　．
答案：
2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（　）．
A．　　　　　 　B．
C．　　 　D．
答案：C
（2）以下等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
（3）（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：A

（5）设是连续的奇函数，则定积分（ ）　
A．0　　B． C．　D．
答案：A
（6）下列无穷积分收敛的是（　）．
　　A．　　　　　 　B．
　　C．　　　　 　　　D．
答案：D
3．计算题
（1）
解：
（2）
解：
（3）
(4)
解：
=
(5)
解：
(6)
解：
(7)
解：
（8）
五、积分应用
（一）考核要求
1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.
2.了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法.
（二）典型例题
1．填空题
(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 .
答案：
(2)由定积分的几何意义知，= .
答案：
(3)微分方程的特解为 .
答案：
(4)微分方程的通解为 .
答案：
(5)微分方程的阶数为 ．
答案：4
2.单项选择题
(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4
C． D．
答案：A
(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
答案：D
(3)微分方程的通解为（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（　）
A. ；　 　B. ；
C. ； D.
答案：B

蒋翠香：老师你好！要到期末了，我们主要复习那几章的内容呢？考试主要是填空、选择还有计算跟证明吗？谢谢老师！
赵坚：考试题型是填空、选择、计算还有应用题

刘芡芡：我是新生!老师请问作业在那找啊!什么时候出来!
蔡义敬：我是新生!老师请问作业在那找啊!
赵坚：作业在网上

张彩彩：老师你好！ 我重哪能找到学习资料啊？
赵坚：有教材就够了

赵坚：以上我们具体谈了课程的考核要求，并且给出典型例题，希望课程负责教师以此及课程作业为依据，指导期末复习.
有关期末复习的问题希望能够和各位老师加强联系，我的联系方式是：主持教师：赵　 坚，电话： [phone]，　 邮件地址：zhaojian@
今天的教学活动就到这里，谢谢大家，再见！

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