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线性变换思想在中学数学中的应用

摘　要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。
关键词：线性变换 中学数学 几何应用

随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新
的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下
简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知：
《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列4.2的内容。
矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。由矩阵建立的线性变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵确定的变换,就是构造映射,使平面上的点(向量)变成(对应)点(向量)=,这个映射的对应法则就是左乘，在这个线性变换中，矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换。
线性变换在数学上是一个很有用的工具，在其它学科中也有着广泛的应用。线性变换在大学中作为“线性代数”的一个重要内容，被系统地讲授。近些年来，有些国家在中学也讲授部分线性变换的知识。由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，在《标准》中，把“矩阵与变换”作为一门选修课。该课通过几何图形的变换，介绍线性变换的基础知识和基本思想。开设这门选修课的目的是希望学生在基本思想上对线性变换有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。

1 线性变换的概念

1.1 大学教材中的线性变换
一般地，把平面内的一个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换。变换就是一个映射，而且是一个一一映射。换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个一一映射。把两个变换复合起来就得到了一个新的变换。变换的复合一般不具有交换性。恒等变换是一个不动的变换，它把平面上的每个点都变成它自己。变换的复合看成变换的乘积，可得到变换的逆交换的概念。变换的逆交换就是这样一种变换，无论它从左或从右复合，结果都得到恒等变换。每一个变换都有逆变换。
1.2 中学教材中的线性变换
在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，为常数）的几何变换叫做线性变换。[5]
1.3 中学与大学对矩阵概念的区别
在大学里学习的线性变换与中学数学课程标准里要求的线性变换是有区别的。从研究的角度来看，大学的线性变换是把它作为代数的运算法则，对线性方程组与线性空间的运算，而中学课程标准把线性变换看作是几何变换的表示方法；从研究的内容来看，大学研究的是代数的运算性质，概念理论较为抽象，运算量大，容量较多，而中学课程标准研究的是线性变换的几何作用，通过大量的实例来讨论线性变换的性质和作用，只限于讨论平面内的变换，从直观上认识线性变换的意义。矩阵与变换(选修系列4.2)这部分内容在大学的代数课程中会系统地讲授。而中学开设这门选修课的目的，是要求学生了解其基本的思想、概念(当然，这里不是只讲故事也不是读科普读物，应要求学生做习题，要有所练习，有所收获)。不是把大学教材简单下放，更不是去做一些难题，怪题(作为选修系列4的课程，有更多的开放性，给学生更多的思索空间，但其思索的问题不是大学中更艰深的内容或难题、怪题)。在中学不是训练数学上的一些细致的技巧和方法，而是希望学生对线性变换等有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。特别是学理工科的学生，到大学还将系统地学习这方面的知识，中学的内容尽管是重要的，但还是远远不够的。

2 中学数学中涉及到的几种线性变换

2.1 中学数学中涉及到的几种线性变换式及其二阶矩阵
2.1.1 对称变换
(1)关于轴对称的变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为；
(2)关于轴对称的变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为；
(3)关于对称的变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为.
2.1.2 伸缩变换
坐标公式为，其对应的二阶矩阵为.
2.1.3 投影变换
(1)投影在轴上的变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为；
(2)投影在轴上的变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为．
2.1.4 旋转变换
坐标公式为，变换对应的矩阵为．
2.1.5 切变变换
(1)平行于轴的切变变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为；
(2)平行于轴的切变变换坐标公式为，其对应的二阶矩阵为.
2.2 中学数学中涉及到的几种线性变换的特征
2.2.1 对称变换
（1）关于轴对称的对称变换：变换矩阵将点变换为＝，而与关于轴对称。
（2）关于轴对称的对称变换：变换矩阵将点变换为＝，而与关于轴对称。
（3）关于对称的对称变换：变换矩阵将点变换为＝
，而与关于对称。
2.2.2 伸缩变换
（1）沿轴方向的伸缩变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向移动个单位。如果,则为拉伸变换；如果，则为压缩变换。轴上的点不移动，距离轴越远的点收缩越大，距离轴越近的点收缩越小，上的点沿轴方向不发生伸缩变换。
（2）沿轴方向的伸缩变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向移动个单位。如果,则为拉伸变换；如果，则为压缩变换。轴上的点不移动，距离轴越远的点收缩越大，距离轴越近的点收缩越小， 上的点沿轴方向不发生伸缩变换。
2.2.3 投影变换
沿轴方向的投影变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向落在轴上沿轴方向没有发生移动；沿方向的投影变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向落在轴上，沿轴方向没有发生移动。
2.2.4 旋转变换
变换矩阵将点变换为点，即点以原点为中心向逆时针方向旋转个单位。
2.2.5 切变变换
（1）沿轴方向的切变变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向移动个单位。轴上的点不发生移动，距离轴越远的点收缩越大，距离轴越近的点收缩越小， 上的点沿轴方向不发生伸缩变换。
（2）沿轴方向的切变变换：变换矩阵将点变换为点，即点沿轴方向移动个单位。轴上的点不发生移动，距离轴越远的点收缩越大，距离轴越近的点收缩越小，上的点沿轴方向不发生伸缩变换。
2.3 中学数学中涉及到的几种线性变换的示例
用直线段将点依次链接，得到一个三角形图形，如图所示：

利用这个三角形的变换可观察不同线性变换作用的结果。
2.3.1 对称变换
(1)关于轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为，变换后的矩阵为=.变换后的三角形如下图所示：

（2）关于轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为，变换后的矩阵为=.变换后的三角形如下图所示：

（3）关于对称的对称变换的图例：原点集矩阵为，变换后的矩阵为=.变换后的三角形如下图所示：

2.3.2 伸缩变换(取2或1/2)
（1）沿轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为，变换后的矩阵为= 或= .变换后的三角形如下图所示：
或
（2）沿轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为，变换后的矩阵为= 或= .变换后的三角形如下图所示：
或
2.3.3 投影变换
（1）沿轴方向的投影变换：原点集矩阵为，变换后的矩阵为= .变换后的三角形如下图所示：

(2)沿轴方向的投影变换:原点集矩阵为，变换后的矩阵为= .变换后的三角形如下图所示：

2.3.4 旋转变换（取）
原点集矩阵为，变换后的矩阵为×= .变换后的三角形如下图所示：

2.3.5 切变变换（取）
(1)沿轴方向的切变变换：原点集矩阵为，变换后的矩阵为= .变换后的三角形如下图所示：

(2)沿轴方向的切变变换:原点集矩阵为，变换后的矩阵为= .变换后的三角形如下图所示：

3 中学数学中线性变换在解题中的应用

3.1 对称变换在几何极小值问题中的应用
对称变换又称轴反射，在解答线段和的最小值问题时，起着一锤定音的作用。现举例说明如下:
例1 是正方形的边上一点，且,，是对角线上一动点，求的最小值。
分析 利用两点之间线段最短，把转化成一条线段去考虑。过作
交于，连接交于，则即为所求。
解 过作交于.
由为的角平分线， 得到、关于对称，
即
(中垂线上的点到两端点的距离相等),
于是
.
在上任取一点,连结、、,则
.
故为的最小值，此时，在三角形中有
．
例2 正三角形的边长为，是上的中点,是边上的动点，连结和得到,求:
(l)当点运动到中点时，的周长；(2) 的周长最小值。
分析 欲使的周长最小，只须使最小。作关于的对称点，连交于，则即为所求的最小值动点。
解 (l)当点运动到中点时,
，，
所以
,,.
即△PBD的周长为
.
(2)作点关于的对称点，连交于，过作交
的延长线于，连.
则
，.
于是
.
在中
.
不难证明为的周长最小值，且
.
3.2 利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
伸缩变换是中学几何中常见的一种线性变换。对椭圆做伸缩变换 , ,椭圆就变成圆.在此变换下任何一对对应多边形的形状虽然发生了改变,但是对应多边形的面积比是一个定值,即变换之前的多边形面积是S,变换后对应的多边形面积为,则有.利用伸缩变换对应多边形的面积比是一个定值的不变性,就可以借助于圆的平面几何性质巧妙地解与椭圆有关的面积最值问题。[7]
例3 若、、是椭圆上的三点,求面积的最大值。
解 对椭圆做伸缩变换 , ,椭圆就变成圆.此时椭圆的内接就变成圆的内接,而圆的内接三角形以内接正三角形面积为最大，从而面积的最大值是,还原到椭圆中,由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知：面积的最大值是．
例4　已知椭圆,则面积为的椭圆内接四边形有多少个?
解 对椭圆做伸缩变换,,椭圆就变成圆,此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形,当椭圆的内接四边形的面积是时,其对应的圆内接四边形的面积就是,由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为2,而这样的内接正方形有无数个,还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个。
3.3 旋转变换在初中几何中的应用
旋转变换是将平面图形绕平面内一定点旋转一个定角,得到一个与原来图形的形状与大小都一样的图形。点叫做旋转中心, 叫做旋转角。特别地当时,称为中心对称变换,所以中心对称变换是一种特殊的旋转变换。旋转变换的主要性质有:

(1)在旋转变换下,两点之间的距离不变；
(2)在旋转变换下的两直线的夹角不变,且对应直线的夹角等于旋转角[8]。
例5[8]　(全国初中数学联赛题)在中,为的中点,分别延长、到点、,使得，过、分别作、的垂线,相交于点．求证: .
证法1 如图

延长到,使,连结、、.
由,，可得,　所以
,.
又因为,,所以
、、、四点共圆，且.
又由,可知
,且，
从而有
（1）
又由于,可知为直角三角形, 且，
所以
（2）
由（1）、（2）得
∽，且，　
所以∽，　故．
证法2 如图

分别延长、到点、,使,,连结、、、.
因为是的中点且,所以
.
又,,且、分别是、的中点,
可知
,，　且，　即，
从而
.
又因为和均为等腰三角形，所以
.
例6[8]　如图,等边三角形的边长,点是内一点,且.若,求、的长.(第12届“希望杯”初二数学邀请赛试题)

导析 设、、、的面积分别为、、、,线段、、的长分别是、、.把绕点顺时针旋转,得连结,可证为等边三角形, 为直角三角形。所以
（1）
同理, 绕点顺时针旋转,绕点逆时针旋转,可分别得:
（2）
（3）
由（1）+（2）+（3）,得
.
又因为,所以
，　即，
又由于 及a=,可解得
x=3、y=4或x=4、y=3.
说明 利用旋转将分散的条件进行集中,另外,将三个三角形分别旋转得到三个对称的关系式,然后再进行整理处理。

附录:
[1] 桂文通．旋转变换及其应用[J]．中学数学教学参考，2003年第6期．
[2] 姚旗，李德忠．对称变换在几何极小值问题中的应用[J]．考试(中考版)，编辑部邮箱 ， 2006年第11期．
[3] 窦咏梅．利用伸缩变换巧解椭圆最值问题[J]．上海中学数学，2010年第1-2期.
[4] 普通高中课程标准实验教科书．矩阵与变换(选修4-2)[M]．北京：北京师范大学出版社，2004年第8期．
[5] 安淑华．数学教育中的行动研究[J]．数学教育学报，2002年第11期.
[6] 郗玲玲．如何进行新课程选修模块中新增内容的教学—高中“矩阵与变换”内容教学行动研究[J]．中学数学教学参考，上半月高中-2008年第5期.
[7] 彭玉忠．“矩阵与变换”引入中学数学的意义及应用[J]．河北北方学院学报（自然科学版），2008年第6期.
[8] 洪洁．浅谈矩阵与变换[J]．科技资讯，2008年第27期．

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