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有理数知识总结

1. 相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。
2. 正数和负数
像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。
像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。
【注】0既不是正数也不是负数。
3. 有理数
（1） 整数：正整数、零和负整数统称为整数。
分数：正分数和负分数统称为分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
（2） 有理数分类
1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类
正整数 正整数
整数 0 正有理数
有理数 负整数 有理数 正分数
正分数 0 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。
4. 数轴
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。
2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。
（2）在数轴上比较有理数的大小 
1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 
2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

5. 相反数
（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 
（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） 
（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 
（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 
（5）数a的相反数是—a。
（6）多重符号化简
多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 
6. 绝对值
（1） 在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
（2） 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 

（3） 绝对值的主要性质 
一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． 
（4） 两个相反数的绝对值相等。

（5） 运用绝对值比较有理数的大小 
两个负数，绝对值大的反而小.

（6） 比较两个负数的方法步骤是：
1）先分别求出两个负数的绝对值；
2）比较这两个绝对值的大小；
3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 
7. 有理数的加法
（1） 有理数加法法则
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3）互为相反数的两个数相加得零。
4）一个数与0相加，仍得这个数。
（2） 有理数加法的运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
8. 有理数的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)
9. 有理数的加减混合运算
（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正

10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4
（2）适当的应用加法运算律。
10. 有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。
几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
（3）乘法运算律
乘法交换律： ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

11. 有理数的除法
（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
【注】0没有倒数。
（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
【注】0不能做除数。

（3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不等于的数，都得零。

12. 有理数的乘方
（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

个
（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。
（3）有理数乘方法则：
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

13. 科学记数法
（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。
（2）一个大于0的数就记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

14. 有理数的混合运算
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。
（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。
（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。
15. 近似数和有效数字
（1）准确数：完全符合实际的数。
（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。
（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
（4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。

【例题精讲】
一、有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数、是整数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
二、数轴与数的关系
例1．下列语句中正确的是（　）
A.数轴上的点只能表示整数　 B.数轴上的点只能表示分数　
C.数轴上的点只能表示有理数　 D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来.
三、相反数、倒数
例2、已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且，那么的值为 。
例3、知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，且x的绝对值为2，求的值

四、绝对值
例4、若+|2b+5|=0,计算2a-b的值.

例5、若，化简
例6、a，b在数轴上的位置如图

（1）化简： 。
（2）比较大小：；。
【利用几何意义求解】
例7、代数式的最小值为 。

五、有理数的运算
例8、（1）； （2）；

六、科学记数法→近似数及有效数字
例9、用科学记数数表示：1305000000= ；－1020= .
例10、水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示为 .
例11、近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字.
例12、近似数0.4062精确到 位，有 个有效数字.
例13、3.4030×105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .

9

一、选择题（每小题3分，共30分）
1.某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(250.1)kg、（250.2）kg 、(2503)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 )
A. 0.8kg B. 0.6kg C. 0.5kg D . 0.4kg
2、有理数a 等于它的倒数，则a2004是（　 　）
Ａ.最大的负数　　Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数
3、若，则的取值不可能是（　 　）
　 A．0　　　 B.1　　 　 C.2　　 　 D.－2
4、当ｘ＝－2时， 的值为9，则当ｘ＝2时，的值是（　 　） A、－23 B、－17 C、23 D、17

5、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是（　 　）
A、1 B、2 C、3 D、4
6、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b的值只能是( ).
A.2 B. -2 C. 6 D.2或6
7、 x是任意有理数，则2|x|+x 的值( ).
A.大于零 B. 不大于零 C. 小于零 D.不小于零
8、观察这一列数：，, , ,，依此规律下一个数是（ ）
A. B. C D.
9、若表示一个整数，则整数x可取值共有( ).
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10、等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（每小题4分，共32分）
11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）____________________ ；
12. (－3)2013×( －)2014= ；
13.若|x-y+3|+=0，则= .
14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求.
15.设为有理数，则由 构成的各种数值是
16.设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，
则 │b-a│+│a+c│+│c-b│= ；

17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；

18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+35+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）
用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。

三、解答题（共38分）
19、计算：（4分）

20、计算： （4分）

21、已知，
求的值 （7分）

22、（7分）阅读并解答问题
求的值，
解：可令S＝，
则2S＝ ，
因此2S-S＝，
所以＝
仿照以上推理计算出的值

23. （8分）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，试求的值．

24、（8分）电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由
K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是20，试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数。